[論文レビュー] The Nonlinear Analytical Envelope Equation in quadratic nonlinear crystals

Morten Bache|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Optical Network Technologies参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、サブキャリア分解能を保ちながら、χ⁽²⁾、χ⁽³⁾、遅延Raman応答を組み込んだ、二次非線形結晶内における超短パルス伝搬の非線形解析的エンベロープ方程式（NAEE）を導出する。主な貢献は、物理的に透明なモデルであり、非線形項がエンベロープ形式から明確に生じることを示しており、先行モデルではRaman項の正規化が誤って行われたために、Raman効果が2/3の要因で低く見積もられていたことが明らかになった。

ABSTRACT

We here derive the so-called Nonlinear Analytical Envelope Equation (NAEE) inspired by the work of Conforti et al. [M. Conforti, A. Marini, T. X. Tran, D. Faccio, and F. Biancalana, "Interaction between optical fields and their conjugates in nonlinear media," Opt. Express 21, 31239-31252 (2013)], whose notation we follow. We present a complete model that includes $χ^{(2)}$ terms [M. Conforti, F. Baronio, and C. De Angelis, "Nonlinear envelope equation for broadband optical pulses in quadratic media," Phys. Rev. A 81, 053841 (2010)], $χ^{(3)}$ terms, and then extend the model to delayed Raman effects in the $χ^{(3)}$ term. We therefore get a complete model for ultrafast pulse propagation in quadratic nonlinear crystals similar to the Nonlinear Wave Equation in Frequency domain [H. Guo, X. Zeng, B. Zhou, and M. Bache, "Nonlinear wave equation in frequency domain: accurate modeling of ultrafast interaction in anisotropic nonlinear media," J. Opt. Soc. Am. B 30, 494-504 (2013)], but where the envelope is modelled rather than the electrical field while still keeping a sub-carrier level resolution. The advantage of the envelope formation is that the physical origin of the additional terms that are included to model the physics at the carrier level becomes more clear, in contrast to the electric field equations that are more "black box" expansions of the electrical field. We also point out that by comparing our results to a very similar model and widely used model [G. Genty, P. Kinsler, B. Kibler, and J. M. Dudley, "Nonlinear envelope equation modeling of sub-cycle dynamics and harmonic generation in nonlinear waveguides," Opt. Express 15, 5382-5387 (2007)], the Raman terms presented there will most likely lead to an artificially lower Raman effect.

研究の動機と目的

• サブキャリア分解能を保持した、二次非線形結晶内における超短パルス伝搬の物理的に透明なモデルの構築を目的とする。
• χ⁽²⁾、χ⁽³⁾、および遅延Raman応答を、一つの解析的エンベロープフレームワークに統合することを目的とする。
• エンベロープ形式における非線形項の物理的起源を明確にし、電場ベースの式に見られる「ブラックボックス」的性質を回避することを目的とする。
• Genty ら（2007年）のような広く使われているモデルにおける、Raman効果の系統的低減を特定・是正することを目的とする。

提案手法

• 解析的信号形式を用いて非線形波動方程式をエンベロープ領域に変換することで、非線形解析的エンベロープ方程式（NAEE）を導出する。
• エンベロープを $ A(z,t) = \tilde{\boldsymbol{\rho}}(z,t) e^{-i\beta_0 z + i\tilde{\boldsymbol{\rho}}_0 t} $ と定義し、$ \tilde{\boldsymbol{\rho}}_0 $ を中心周波数、$ \beta_0 $ を伝搬定数とする。
• 非線形分極を $ P_{\text{NL}} = P_{\text{NL}}^{(2)} + P_{\text{NL}}^{(3)} $ としてモデル化し、$ P_{\text{NL}}^{(2)} $ を即時的、$ P_{\text{NL}}^{(3)} $ を電子的およびRaman的寄与を含むものとする。
• Raman応答を正規化応答関数 $ g(t) = \alpha\delta(t) + (1-\alpha)h_R(t) $ を用いて表現し、$ h_R(t) $ を正規化し、$ f_R = 1 - \alpha $ とする。
• 自己歪み作用素 $ \hat{S}_\tau = 1 + i\omega_0^{-1}\partial_\tau $ と分散作用素 $ \hat{D}_\tau $ を適用し、共動フレームにおける最終的なNAEEを導出する。
• 位相不一致項を簡略化するための補助場 $ a(\zeta,\tau) = A(\zeta,\tau)e^{-i\Delta k_{\text{pg}}\zeta} $ を用い、効率的な数値実装を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブキャリア分解能を保ちながら、χ⁽²⁾、χ⁽³⁾、および遅延Raman応答を含む、超短パルス伝搬の統一的解析的エンベロープモデルをどのように導出できるか？
• RQ2 エンベロープ形式における非線形項の物理的起源は何か？また、電場ベースのモデルとはどのように異なるか？
• RQ3 なぜ広く使われているGenty ら（2007年）のモデルでは、Raman効果が人為的に小さく見積もられるのか？
• RQ4 非線形エンベロープ方程式におけるRaman項の正しい正規化は何か？これによりRaman応答の正確なモデリングが可能になるか？
• RQ5 エンベロープ方程式における $ e^{i\omega_0\tau} $ の位相因子の含め方は、Raman項の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• NAEEモデルは、サブキャリア分解能を保ちながら、χ⁽²⁾、χ⁽³⁾、および遅延Raman応答を一つの物理的に透明なフレームワークに統合した。
• モデルは、Genty ら（2007年）のモデルにおけるRaman項が、Raman応答関数の正規化が誤っているために2/3の要因で系統的に低く見積もられていることを明らかにした。
• Genty ら（2007年）のモデルにおけるRaman寄与は係数 $ \frac{2}{3}f_R $ を用いており、これは実効Raman強度が正しい物理的値よりも小さくなっていることを示している。
• 本論文は、Genty ら（2007年）で使用されたシリカの $ f_R = 0.18 $ の値が、物理的ではなく人為的にRaman効果を小さく見積もっていることを示した。
• 修正されたRaman項では、$ f_R $ を分率Raman応答として用いるべきであり、$ \frac{2}{3}f_R $ を用いるべきではない。つまり、このモデルではRaman効果が33%低く見積もられている。
• 導出されたNAEE式（31）は、二次結晶内における超高速非線形ダイナミクスをシミュレートするための数値的に効率的で物理的に正確な形式を提供する。