[論文レビュー] The nonlinear Schrödinger equation: A mathematical model with its wide-ranging applications

N. Karjanto|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Nonlinear Photonic Systems参考文献 97被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、分散媒質内の弱非線形・準単色波パッケージを記述する普遍的な数学的モデルとしての非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）について包括的な概説を提供する。流体力学、超伝導、非線形光学、ボーズ＝アインシュタイン凝縮（BEC）の分野において、ヒューリスティック法および多重スケール法を用いてNLSEを導出しており、その可積分性、保存則、およびソリトンや異常波を含む広範な応用を示している。

ABSTRACT

The nonlinear Schrödinger equation (NLSE) models the slowly varying envelope dynamics of a weakly nonlinear quasi-monochromatic wave packet in dispersive media. In the context of Bose-Einstein condensate (BEC), it is often referred to as the Gross-Pitaevskii equation (GPE). The NLSE is one example of integrable systems of a nonlinear partial differential equation (PDE) in $(1 + 1)$D and it possesses an infinite set of conservation laws. This nonlinear evolution equation arises in various physical settings and admits a wide range of applications, including but not limited to, surface gravity waves, superconductivity, nonlinear optics, and BEC. This chapter discusses not only the modeling aspect of the NLSE but also provides an overview of the applications in these four exciting research areas. The former features derivations of the NLSE heuristically and by employing the method of multiple-scale from other mathematical models as governing equations. Depending on how the variables are interpreted physically, the resulting NLSE can model a different dynamics of the wave packet. Furthermore, depending on the adopted assumptions and the chosen governing equations, each approach may provide different values for the corresponding dispersive and nonlinear coefficients.

研究の動機と目的

• 非線形分散波動理論における基礎的モデルとしての非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）の統合的概説を提示すること。
• 異なる分野における物理的基礎方程式から、ヒューリスティック法および多重スケール漸近法を用いてNLSEを導出すること。
• 多様な物理系においてNLSEの可積分性、無限個の保存則、およびソリトン解の存在を示すこと。
• 表面重力波、超伝導、非線形光学、ボーズ＝アインシュタイン凝縮（BEC）における主な応用を強調すること。
• 一見関連のない物理現象を一貫した数学的構造を通じて統一するフレームワークとしてのNLSEの構築。

提案手法

• 線形シュレーディンガー方程式から弱非線形性とゆっくりとした包絡線の変調を導入することで、NLSEをヒューリスティックに導出する。
• 各物理的文脈における支配方程式から、時間的および空間的NLSEを体系的に導出するために多重スケール法を適用する。
• 超伝導におけるNLSEの導出に、非線形クライン＝ゴルドン方程式を出発点とし、サイン・ゴルドンソリトンと関連付ける。
• 非線形光学においては、マクスウェル方程式およびヘルムホルツ方程式からNLSEを導出し、Kerr媒質におけるパルス伝搬をモデル化する。
• BECにおけるグロス＝ピタエフスキー方程式（GPE）は、相互作用をもつボソン系の平均場理論から導出され、三次非線形項を有する。
• 時間依存および時間非依存の場合のGPEを解くために、クランク＝ニコルソン法、スペクトル分割法、有限差分スキームなどの数値手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流体力学、超伝導、非線形光学、BECにおける基礎物理方程式から、NLSEを体系的にどのように導出できるか。
• RQ2 異なる応用分野におけるNLSEの分散係数および非線形係数の物理的解釈は何か。
• RQ3 NLSEの可積分性および無限個の保存則が、異なる物理系においてどのように現れるか。
• RQ4 各応用分野において、NLSEから生じる局在波解（例えばソリトン、異常波）の種類は何か。
• RQ5 水波や超低温原子系といった異なる物理現象を統合する普遍的モデルとして、NLSEが果たす役割は何か。

主な発見

• NLSEは、多様な基礎方程式から多重スケール漸近法を用いて導出可能であり、分散媒質内でのゆっくりとした変動・弱非線形波パッケージを普遍的に記述するモデルとして出現する。
• NLSEは逆散乱変換を用いた完全可積分性を示し、無限個の保存則を有することで、安定なソリトン解の存在が保証される。
• 表面重力波では、NLSEは包絡線ソリトンおよび異常波現象を記述し、適切な条件下で双曲正割関数の形状を示す解を示す。
• 超伝導では、非線形クライン＝ゴルドン方程式から導出されたNLSEは、サイン・ゴルドンモデルに関連するソリトン解を支持し、ジョセフソン接合におけるフラックスョンを記述する。
• 非線形光学では、マクスウェル方程式およびヘルムホルツ方程式から導出されたNLSEは、自己位相変調およびKerr非線形性を示す光ファイバー内でのソリトン伝搬をモデル化する。
• BECでは、グロス＝ピタエフスキー方程式（NLSEの一種）は、超低温原子クラスタの平均場ダイナミクスを記述し、相互作用の強さに応じて双曲正 tangent（反発的）または双曲正割（引力的）の形状を示す解析解が得られる。