[論文レビュー] The Nonlinear Schrodinger equation with a potential in dimension 1

Pierre Germain, Fabio Pusateri+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、束縛状態をもたない一般の局所的ポテンシャルを有する1次元立方非線形シュレーディンガー方程式の小さな解の長時間漸近的挙動を確立する。歪んだフーリエ変換と非線形定常位相法を用いて、解が散乱行列に依存する非線形位相補正を示すことを証明し、元来の非線形散乱理論を摂動された設定にまで拡張する。

ABSTRACT

We consider the cubic nonlinear Schrodinger equation with a potential in one space dimension. Under the assumptions that the potential is generic, sufficiently localized, and does not have bound states, we obtain the long time asymptotic behavior of small solutions. In particular, we prove that, as time goes to infinity, solutions exhibit nonlinear phase corrections that depend on the scattering matrix associated to the potential. The proof of our result is based on the use of the distorted Fourier transform - the so-called Weyl-Kodaira-Titchmarsh theory -, a precise understanding of the "nonlinear spectral measure" associated to the equation, and nonlinear stationary phase arguments as well as multilinear estimates in this distorted setting.

研究の動機と目的

• 外部ポテンシャルを有する1次元立方非線形シュレーディンガー方程式の小さな解の長時間ダイナミクスを記述すること。
• 元来の非摂動的NLSで確立された修正散乱理論を、一般の局所的ポテンシャルを含む線形作用素が存在する場合にまで拡張すること。
• 解の漸近的挙動を、ポテンシャルの散乱行列に結びついた非線形位相補正の観点から特徴づけること。
• 歪んだフーリエ変換と非線形スペクトル測度に基づく枠組みを構築し、ポテンシャルの存在下での小さな解の解析に用いること。
• 線形化によってソリトンや他の特別な解の漸近的安定性を非線形分散方程式で研究するための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• シュレーディンガー作用素のスペクトル的性質を分析するため、歪んだフーリエ変換のWeyl-Kodaira-Titchmarsh理論を用いる。
• 方程式に関連する非線形スペクトル測度の明確な理解を用いて、歪んだスペクトル設定における非線形性を扱う。
• 歪んだフーリエ領域における解の漸近的挙動を制御するために、非線形定常位相の議論を適用する。
• 非線形項の相互作用を制御するため、歪んだフーリエ枠組みに適合した多項式型推定を導入する。
• ボルテラ積分方程式とグロンウォール型の議論を用いて、解およびその微分の重み付きおよび点での推定を確立する。
• スペクトル的仮定を課す：束縛状態がなく、一般のポテンシャル（0が共鳴状態でないことに相当）であることにより、[0, ∞) 上に純粋に絶対連続スペクトルが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルを有する1次元立方NLSの小さな解は、時間が無限大に近づくとどのように振る舞うか？
• RQ2 散乱行列は、ポテンシャルの存在下での解の非線形位相補正を決定づける役割を果たすか？
• RQ3 元来非摂動的NLSで有効であった修正散乱理論は、一般の局所的ポテンシャルの下でも拡張可能か？
• RQ4 歪んだフーリエ変換は、ポテンシャルを有する非線形分散方程式の長時間ダイナミクスを分析するためにどのように用いられるか？
• RQ5 束縛状態の不在と非線形領域における修正散乱の有効性を保証するためのポテンシャルに必要な条件は何か？

主な発見

• 一般の局所的ポテンシャルを有し、束縛状態をもたない1次元立方NLSの解は、時間が無限大に近づくと修正散乱の挙動を示す。
• 解の漸近的プロファイルには、ポテンシャルの散乱行列に明示的に依存する非線形位相補正が含まれる。
• 歪んだフーリエ変換は、ポテンシャルの存在下で正しい漸近的ダイナミクスを捉えるために不可欠であり、この状況では標準的フーリエ変換に置き換える必要がある。
• 非線形定常位相の議論と歪んだ設定における多項式型推定は、非線形項の長時間挙動を制御する上で鍵となる。
• 証明は、歪んだ枠組みにおけるボルテラ型作用素の可逆性に依存しており、これはグロンウォール推定と歪んだ固有関数の点での有界性によって確立される。
• ポテンシャルが $ W^{2,1} $ に属し、かつ $ |x|^\gamma V \in L^1 $ が $ \gamma > 6 $ を満たすという仮定のもとで、結果は成り立つ。これは十分な減衰性と正則性を保証する。