[論文レビュー] The nonlinear thermodynamic quantum master equation

Hans Christian Öttinger|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2010

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形な熱力学的量子マスター方程式を提案し、非平衡熱力学を散乱する量子系へ一般化する。幾何的定式化を用い、熱的に整合性のある非可逆項を導入する。非線形性は密度行列に依存する演算子積 $ A_\rho $ に起因し、物理的に妥当な平衡解（例えば、Bloch球内での二準位系の正しい熱化）を保証するとともに、Lindbladの線形モデルを凌駕する動的挙動を実現する。

ABSTRACT

The quantum master equation obtained by generalizing the geometric formulation of nonequilibrium thermodynamics to dissipative quantum systems is seriously nonlinear. We argue that nonlinearity occurs naturally in the step from reversible to irreversible equations and we analyze the nature of the nonlinear contribution. The thermodynamic nonlinearity leads to proper equilibrium solutions and improves the dynamic behavior of dissipative quantum systems. We also discuss the Markovian character of the thermodynamic quantum master equation. The general ideas are illustrated for two-level systems.

研究の動機と目的

• 純粋に量子力学的導出に依存する限界を回避するため、散乱する量子系に適した熱的に整合性のある量子マスター方程式の構築を目的とする。
• Lindbladなどの線形マスター方程式が、低温における磁化がBloch球を超えるなど物理的に不適切な解を生じるという欠陥を是正することを目的とする。
• 時間的に変化するか非平衡な任意の古典的環境が量子部分系に与える影響を、熱的に整合性を保った形で組み込むこと。
• 量子部分系が環境に与える影響を記述する補完的方程式を用いて、双方向結合を確立し、閉じた系の記述を可能にする。
• 非線形性がエントロピーと量子非可換性に起因し、非可逆量子力学的挙動における物理的正しさを保証するために不可欠な特徴であることを示すこと。

提案手法

• 非平衡熱力学に基づく幾何的アプローチを用い、密度行列 $ \rho $ のマスター方程式を定式化する。可逆項 $ \frac{i}{\hbar}[\rho, H] $ と、散乱括弧を含む非可逆項を含む。
• 密度行列に依存する演算子積 $ A_\rho = \int_0^1 \rho^\lambda A \rho^{1-\lambda} d\lambda $ を導入し、これにより非線形性を埋め込む。
• 双線形性、対称性、正定値性、Leibniz則を満たす散乱括弧 $ \llbracket \cdot, \cdot \rrbracket^j $ を用いることで、熱的に整合性のある形式を保証する。
• 二準位系に形式を適用し、磁化ベクトル $ \bm{m} $ の非線形運動方程式を導出し、物理的に不適切な挙動を防ぐ非線形緩和項を備える。
• 平衡状態近傍での線形化を実施し、緩和ダイナミクスを分析。Bloch球の境界付近で緩和が強化されることが示される。
• 非線形性を $ A^\prime_\rho = \mu(m)\big{[} \Delta\rho \, \text{tr}(A\Delta\rho) - A \, \text{tr}(\Delta\rho)^2 \big{]} $ として再定式化し、量子フラクチュエーションおよび高温極限と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、純粋に量子力学的仮定に依存せず、熱力学的原理から量子マスター方程式を導出できるか？
• RQ2 なぜ非可逆量子力学的挙動において非線形性が自然に生じるのか、そして線形モデルと比較して物理的整合性がどのように向上するのか？
• RQ3 熱力学的量子マスター方程式は、低温でも物理的に許容される領域（例えばBloch球）内に平衡解を保証できるか？
• RQ4 非線形性は、状態空間の境界付近における二準位系の緩和ダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ5 量子非可換性は、古典系では非線形性が相殺されるのを防ぐ役割を果たすのか？

主な発見

• 非線形熱力学的量子マスター方程式は、物理的に妥当な平衡解を生成する。たとえば $ \bm{m}_{\rm eq} = -\bm{q}_3 \tanh(\hbar\omega / 2k_B T_e) $ は、低温でもBloch球内に有界に保たれる。
• 線形化されたLindblad型方程式とは異なり、物理的に不適切な磁化が球を超えることはない。非線形方程式は状態が物理的に許容される領域内に保たれる。
• 非線形項は、特にBloch球の境界付近で緩和を強化する。これは緩和率に $ \mu(m) $ 依存の補正が働くためである。
• 非線形性は演算子積 $ A_\rho $ に起因し、$ A^\prime_\rho $ 項には一様分布を促進する寄与が含まれ、量子フラクチュエーションに比例する。
• 古典的極限では、エントロピー微分 $ f \delta S / \delta f = -k_B df $ のキャンセルにより非線形性が消滅するが、非可換性のため、量子系ではこのキャンセルが成立しない。
• 全体系（量子系＋環境）が閉じている限り、環境のパラメータが時間変化しても方程式はマコフ的である。これは、部分系と環境の間の双方向結合に起因する。