[論文レビュー] The Nonstandard Deformation U'_q(so_n) For q a Root of Unity

N. Z. Iorgov, A. U. Klimyk|ArXiv.org|Jul 17, 2000

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$ q $ が単位根である場合の非標準的量子変形 $ U'_q({\rm so}_n) $ における有限次元非可約表現を構成し、すべてのこのような表現が有限次元であることを証明する。$ U'_q({\rm so}_n) $ と $ U_q({\rm sl}_n) $ の間に同型写像を確立し、$ r = \dim{\rm so}_n $ 個の複素パラメータを用いて $ p^N $ 次元空間に作用する表現の明示的公式を提示する。半整数重みを持つ追加の退化クラスの表現も含む。

ABSTRACT

We describe properties of the nonstandard q-deformation U'_q(so_n) of the universal enveloping algebra U(so_n) of the Lie algebra so_n which does not coincide with the Drinfeld--Jimbo quantum algebra U_q(so_n). In particular, it is shown that there exists an isomorphism from U'_q(so_n) to U_q(sl_n) and that finite dimensional irreducible representations of U'_q(so_n) separate elements of this algebra. Irreducible representations of the algebras U'_q(so_n) for q a root of unity q^p=1 are given. The main class of these representations act on p^N-dimensional linear space (where N is a number of positive roots of the Lie algebra so_n) and are given by r=dim so_n complex parameters. Some classes of degenerate irreducible representations are also described.

研究の動機と目的

• $ q $ が単位根である場合の非標準的量子変形 $ U'_q({\rm so}_n) $ の有限次元非可約表現を分類すること。
• $ q^p = 1 $ のとき、$ U'_q({\rm so}_n) $ のすべての非可約表現が有限次元であることを証明し、非単位根の場合の結果を拡張すること。
• $ q $-アナロジー版ゲルファンド＝ツェトリン基底と代数の中心的元を用いて、これらの表現の明示的実現を構成すること。
• 半整数重みや追加パラメータを含む非退化および退化クラスの非可約表現を記述すること。

提案手法

• $ U'_q({\rm so}_n) $ に対して Poincaré–Birkhoff–Witt 型の定理を証明し、代数の基底を確立する。
• $ q $ が単位根である場合に導かれる $ U'_q({\rm so}_n) $ の中心的元を用いて、表現空間を制約する。
• $ q $-変形されたゲルファンド＝ツェトリン基底を用いて表現を構成し、$ q $-整数およびパラメータ $ c_s, h_s $ を含む明示的行列式による生成子の作用を提示する。
• 生成子 $ I_{j,j-1} $ の基底ベクトルへの作用を、$ (\theta_n)^{\pm j}_k $ を含む再帰的関係式で定義する。ここで、特定の成分においてインデックスが $ \pm 1 $ シフトされる。
• 非標準的量子代数の文脈において非可約表現を構成するための Arnaudon と Chakrabarti の手法を用いる。
• 構成された作用素が $ U'_q({\rm so}_n) $ の定義関係を満たし、標準的表現論的議論により非可約性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ q $ が単位根であるとき、$ U'_q({\rm so}_n) $ のすべての非可約表現は有限次元であるか？
• RQ2 $ U'_q({\rm so}_n) $ と Drinfeld–Jimbo 代数 $ U_q({\rm sl}_n) $ の間に同型写像を確立できるか？ その同型は表現論にどのように寄与するか？
• RQ3 $ q $ が単位根であるときの $ U'_q({\rm so}_n) $ の非可約表現の明示的形は何か、特に古典的極限を持たない表現について。
• RQ4 半整数重みと追加パラメータ $ m_{j,n} $, $ c_{sj} $, $ h_{sj} $, $ \epsilon_j $ を持つ退化表現はどのようにして生じ、どのように振る舞うか？
• RQ5 表現空間の構造は何か？ 生成子は $ q $-整数およびテーブルーフィールドシフトを用いて、その基底ベクトルに対してどのように作用するか？

主な発見

• $ q $ が単位根、特に $ q^p = 1 $ であるとき、$ U'_q({\rm so}_n) $ のすべての非可約表現は有限次元である。
• $ U'_q({\rm so}_n) $ は $ U_q({\rm sl}_n) $ に同型である。これにより、Drinfeld–Jimbo の構成から得られる表現論的道具が移行可能になる。
• 主な非可約表現クラスは、$ N $ を $ \mathfrak{so}_n $ の正ルートの数として $ p^N $ 次元のベクトル空間に作用し、$ r = \dim{\rm so}_n $ 個の複素パラメータでパラメータ化される。
• 退化表現は、$ m_{i+1,n} \geq \cdots \geq m_{\lfloor n/2 \rfloor,n} \geq 1/2 $ を満たす半整数 $ m_{j,n} $ を用いて構成され、$ l_{j,n} $ および $ \epsilon_j $ に対する追加制約がある。
• $ I_{j,j-1} $ の基底ベクトルへの作用は、$ q $-整数およびテーブルーフィールドシフト $ (\xi_n)^{\pm j}_k $ を含む再帰的公式で明示的に与えられ、係数は $ c_{sj} $, $ h_{sj} $, $ l_{j,k} $ に依存する。
• 非可約性および定義関係の満たし方は、以前の研究で用いられた同じ技法を用いた直接計算により確認され、表現の構成の妥当性が裏付けられる。