[論文レビュー] The normality and bounded growth of balleans

Тарас Банах, Ігор Протасов|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、粗い空間に出生論を備えたballeans（バレー）の積の正規性を調査し、その積が正規であるための条件を特徴付けるために『有界成長』という概念を導入する。二つの非有界balleansの積が正規であるならば、両方のballeansは有界成長をもち、積の出生論は線形順序付けられた基底を持つことが示され、balleansにおける位相的正規性と粗い幾何的構造との間の重要な関係が確立される。

ABSTRACT

By a ballean we understand a set $X$ endowed with a family of entourages which is a base of some coarse structure on $X$. Given two unbounded ballean $X,Y$ with normal product $X imes Y$, we prove that the balleans $X,Y$ have bounded growth and the bornology of $X imes Y$ has a linearly ordered base. A ballean $(X,\mathcal E_X)$ is defined to have bounded growth if there exists a function $G$ assigning to each point $x\in X$ a bounded subset $G[x]\subset X$ so that for any bounded set $B\subset X$ the union $\bigcup_{x\in B}G[x]$ is bounded and for any entourage $E\in\mathcal E_X$ there exists a bounded set $B\subset X$ such that $E[x]\subset G[x]$ for all $x\in X\setminus B$. We prove that the product $X imes Y$ of two balleans has bounded growth if and only if $X$ and $Y$ have bounded growth and the bornology of the product $X imes Y$ has a linearly ordered base. Also we prove that a ballean $X$ has bounded growth (and the bornology of $X$ has a linearly ordered base) if its symmetric square $[X]^{\le 2}$ is normal (and the ballean $X$ is not ultranormal). A ballean $X$ has bounded growth and its bornology has a linearly ordered base if for some $n\ge 3$ and some subgroup $G\subset S_n$ the $G$-symmetric $n$-th power $[X]^n_G$ of $X$ is normal. On the other hand, we prove that for any ultranormal discrete ballean $X$ and every $n\ge 2$ the power $X^n$ is not normal but the hypersymmetric power $[X]^{\le n}$ of $X$ is normal. Also we prove that the finitary ballean of a group is normal if and only if it has bounded growth if and only if the group is countable.

研究の動機と目的

• 二つの非有界balleansの積が正規であるための条件を特徴づけること。
• 積の正規性の必要条件としてのballeansにおける有界成長の概念を導入し、その分析を行うこと。
• balleansの出生論とその対称的・超対称的冪の正規性との関係を調査すること。
• 群の有限型balleanが正規であるための条件を特定し、可算性および有界成長と関連付けること。
• 特に非可算群や可解群に対して、積、対称冪、群balleansにおける正規性に関する未解決問題を探索すること。

提案手法

• balleansを、球近傍と有界集合からなるentourage族によって定義される粗い構造を備えた集合として定義する。
• 有界成長の概念を導入する：各点に有界集合を割り当てる関数で、entourageが最終的にその集合に含まれ、有界集合の和集合が依然として有界であるようなもの。
• 積ballean構造を用いて、非有界balleans $X, Y$ に対する $X \times Y$ の出生論と正規性を分析する。
• 中心化子や基数不変量に関する群論および集合論的位相の結果を応用し、非正規な場合に矛盾を導く。
• 特に離散的および超正規な設定において、正規性を研究するためにballeansの対称冪および超対称冪を活用する。
• マクロ一様性および商準同型を用いて、群balleanおよびその部分balleanにおける正規性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの非有界balleansの積が正規であるのはどのような条件下か？
• RQ2 積 $X \times Y$ が正規であるならば、$X$ と $Y$ は両方とも有界成長をもち、$X \times Y$ の出生論は線形順序付けられた基底を持つと示せるか？
• RQ3 $n$-次の対称冪 $[X]^n$ の正規性が、超対称冪 $[X]^{\leq n}$ の正規性を意味するか？
• RQ4 群の有限型balleanが正規であることと、群が可算であることとは同値か？
• RQ5 群 $G$ に対して、$(G, \mathcal{E}_{[G]^{<\kappa}}})$ が正規であるならば、$\kappa$ は正則であると示せるか、特に $G$ が可解群の場合にそうなるか？

主な発見

• 二つの非有界balleans $X$ と $Y$ の積 $X \times Y$ が正規であるならば、$X$ と $Y$ は両方とも有界成長をもち、$X \times Y$ の出生論は線形順序付けられた基底を持つ。
• 積 $X \times Y$ が有界成長をもつための必要十分条件は、$X$ と $Y$ が両方とも有界成長をもち、$X \times Y$ の出生論が線形順序付けられた基底を持つことである。
• balleans $X$ が有界成長をもち、線形順序付けられた出生論を持つための十分条件として、対称平方 $[X]^{\leq 2}$ が正規であり、かつ $X$ が超正規でないことが挙げられる。
• 任意の $n \geq 3$ および $S_n$ の部分群 $G \subset S_n$ に対して、$G$-対称 $n$-次の冪 $[X]^n_G$ が正規であるならば、$X$ は有界成長をもち、その出生論は線形順序付けられている。
• 任意の超正規な離散ballean $X$ と $n \geq 2$ に対して、$n$-乗 $X^n$ は正規でないが、超対称冪 $[X]^{\leq n}$ は正規である。
• 群の有限型balleanは、有界成長をもつときかつそのときに限り正規であり、これは群が可算であることと同値である。