[論文レビュー] The Novikov conjecture, the group of volume preserving diffeomorphisms and Hilbert-Hadamard spaces

Sherry Gong, Jianchao Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2018

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ひとこと要約

本稿は、可縮で非正曲率の、おそらく無限次元の距離空間（可縮で非正曲率の、有限次元リーマン部分多様体の稠密な列を持つ）である適切なヒルバート＝ハダマール空間に正確かつ等長的に作用する離散群に対して、有理数係数の強いノヴィコフ予想を証明する。主な結果として、このような群に対して有理数係数のバーム＝コンス・アセンブリーマップの単射性が確立され、カスパロフの定理が無限次元設定に拡張され、閉多様体上の体積保存微分同相群の幾何的離散部分群に対するノヴィコフ予想の成立が示される。

ABSTRACT

We prove that the Novikov conjecture holds for any discrete group admitting an isometric and metrically proper action on an admissible Hilbert-Hadamard space. Admissible Hilbert-Hadamard spaces are a class of (possibly infinite-dimensional) non-positively curved metric spaces that contain dense sequences of closed convex subsets isometric to Riemannian manifolds. Examples of admissible Hilbert-Hadamard spaces include Hilbert spaces, certain simply connected and non-positively curved Riemannian-Hilbertian manifolds and infinite\-/dimensional symmetric spaces. Thus our main theorem can be considered as an infinite-dimensional analogue of Kasparov's theorem on the Novikov conjecture for groups acting properly and isometrically on complete, simply connected and non-positively curved manifolds. As a consequence, we show that the Novikov conjecture holds for geometrically discrete subgroups of the group of volume preserving diffeomorphisms of a closed smooth manifold. This result is inspired by Connes' theorem that the Novikov conjecture holds for higher signatures associated to the Gelfand-Fuchs classes of groups of diffeormorphisms.

研究の動機と目的

• 適切なヒルバート＝ハダマール空間に正確かつ等長的に作用する離散群に対するノヴィコフ予想を確立すること。
• 有限次元の非正曲率多様体に作用する群に対するカスパロフの結果を、無限次元の類似物へと拡張すること。
• 閉滑らか多様体上での体積保存微分同相群の幾何的離散部分群に対する有理数係数の強いノヴィコフ予想を証明すること。
• $C^*$-代数と$KK$-理論を用いた非可換幾何的枠組みを構築し、無限次元距離空間への等長群作用を分析すること。
• $L^2$-空間の写像がヒルバート＝ハダマール空間に倣う場合、曲率障害の議論により、それがリーマン＝ヒルバート多様体に等長写像可能でないことを示すこと。

提案手法

• 適切なヒルバート＝ハダマール空間を、完全で単連結で、CAT(0)距離空間であり、有限次元リーマン多様体に等長な閉凸部分集合の稠密な exhaustion を持つものとして定義する。
• $M$ をヒルバート＝ハダマール空間とするとき、その幾何的構造を$L^2$-リーマン計量を介して符号化する$C^*$-代数$\mathcal{A}(M)$を構成する。
• $M$ 上の等長群作用を用いて、$\mathcal{A}(M)$ 上の自己同型を誘導し、群作用と$C^*$-代数の$K$-理論との関係を結ぶ。
• 測度可測な集合上でインデックス付けられたベクトル場と測度可測な分割を用いて、$M$ への写像の$L^2$-空間の接空間構造を分析する。
• $L^2$-空間の接空間内のベクトル列を構成し、それらが曲率テンソルを発散させるように生成させ、それがリーマン＝ヒルバート多様体構造であるならば連続性に反する。
• リーマン曲率テンソルを用いた曲率障害の議論により、$L^2(Y,\mu,M)$ がリーマン＝ヒルバート多様体に等長写像可能でないことを示し、非埋め込み性を証明することで、主要定理を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確かつ等長的な群作用を伴う非正曲率の無限次元距離空間に対して、ノヴィコフ予想を拡張することは可能か？
• RQ2 体積保存微分同相群の幾何的離散部分群は、有理数係数の強いノヴィコフ予想を満たすか？
• RQ3 ヒルバート＝ハダマール空間への写像の$L^2$-空間は、ある幾何的条件下でリーマン＝ヒルバート多様体に等長写像可能か？
• RQ4 非正曲率空間への写像の$L^2$-空間における曲率に基づく障害は、リーマン＝ヒルバート多様体への埋め込み不可能性を示すために用いられるか？
• RQ5 適切なヒルバート＝ハダマール空間に正確かつ等長的に作用する群作用と、有理数係数バーム＝コンス・アセンブリーマップの単射性との関係は何か？

主な発見

• 任意の離散群が適切なヒルバート＝ハダマール空間に正確かつ等長的に作用する場合、有理数係数の強いノヴィコフ予想が成り立つ。
• このような群に対して、有理数係数バーム＝コンス・アセンブリーマップ$\mu: K_*(B\Gamma) \otimes \mathbb{Q} \to K_*(C^*_r\Gamma) \otimes \mathbb{Q}$は単射である。
• $M$ をヒルバート＝ハダマール空間とするとき、写像の$L^2$-空間$L^2(Y,\mu,M)$は、曲率発散の結果としてリーマン＝ヒルバート多様体に等長写像可能でない。
• $L^2(Y,\mu,M)$ の接空間内のベクトル列が、その断面曲率が$-\infty$ に発散するリーマン曲率テンソルを生成する。これはリーマン＝ヒルバート多様体構造に必要な連続性に反する。
• 閉滑らか多様体上での体積保存微分同相群の幾何的離散部分群に対して、ノヴィコフ予想が成り立つ。
• 本結果は、有限次元で単連結で非正曲率の多様体に作用する群に対するカスパロフの定理の無限次元版を提供する。