[論文レビュー] The Novikov-Veselov hierarchy of equations and integrable deformations of minimal Lagrangian tori in CP^2

Andrey E. Mironov|ArXiv.org|Jul 27, 2006

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ノヴィコフ＝ヴェゼラフ（NV）階層が、そのスペクトル曲線と自己同型型を保ちながら、ℂP² 内の最小ラグランジュトーラスに統合可能な変形を誘導することを確立する。滑らかな周期的解に対するツィツェリカ方程式の最高階層の流れがNV階層に従うことが示され、有限ギャップシュレーディンガー作用素とプリム・シータ関数を通じて、統合可能系と最小ラグランジュ幾何学が結びつけられる。

ABSTRACT

We associate a periodic two-dimensional Schrodinger operator to every Lagrangian torus in CP^2 and define the spectral curve of a torus as the Floquet spectrum of this operator on the zero energy level. In this event minimal Lagrangian tori correspond to potential operators. We show that Novikov-Veselov hierarchy of equations induces integrable deformations of minimal Lagrangian torus in CP^2 preserving the spectral curve. We also show that the highest flows on the space of smooth periodic solutions of the Tzizeica equation are given by the Novikov-Veselov hierarchy.

研究の動機と目的

• ゼロエネルギーにおけるフロケスペクトルを介して、ℂP² 内の最小ラグランジュトーラスと有限ギャップシュレーディンガー作用素との間の対応を確立すること。
• ノヴィコフ＝ヴェゼラフ階層が、そのスペクトル曲線と自己同型構造を保ちながら、このようなトーラスに統合可能な変形を生成することを示すこと。
• ツィツェリカ方程式の滑らかな二重周期的解の空間における最高階層の流れが、NV階層に従うことの証明。
• スペクトル曲線上の正則的および反正則的自己同型を備えた、バーグァー＝アキエツェル関数とプリム・シータ関数を用いた明示的変形の構成。

提案手法

• ℂP² 内の各ラグランジュトーラスに対して、$ v $ を誘導計量から得る周期的2次元シュレーディンガー作用素 $ L = \partial_x^2 + \partial_y^2 + 4e^v $ を関連付ける。
• スペクトル曲線 $ \Gamma $ を、$ L $ のゼロエネルギーにおけるブロッホスペクトルとして定義し、その genus をトーラスのスペクトル genus に等しくする。
• 変形をパラメトライズするために、$ \Gamma $ 上のプリム・シータ関数を用いて表現されるバーグァー＝アキエツェル関数 $ \psi(P,x,y,t) $ を用いる。
• 正規化係数 $ C_j(t) = |\psi(P_j,x,y,t)|^{-1} $ を用いて、変形写像 $ \widetilde{r}(t) $ を $ \widetilde{r}_j(t) = C_j(t) \psi(P_j,x,y,t) $ として構成し、周期性を保証する。
• NV階層の式 $ \partial_{t_n} L = [L, A_n] + B_n L $ を導出する。ここで $ A_n $ と $ B_n $ はそれぞれ次数 $ 2n+1 $ および $ 2n-1 $ の微分作用素である。
• 変形がスペクトル曲線と自己同型型を保つことを確認するため、$ \partial_{t_n} v $ がトーラス上で離散固有値方程式を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、シュレーディンガー作用素のスペクトル理論を用いて、ℂP² 内の最小ラグランジュトーラスを特徴付けることができるか？
• RQ2 ノヴィコフ＝ヴェゼラフ階層は、このようなトーラスの統合可能な変形を生成する際に果たす役割は何か？
• RQ3 ツィツェリカ方程式およびその滑らかな周期的解は、統合可能系とスペクトル曲線とどのように関係しているか？
• RQ4 自己同型 $ \sigma $ および $ \tau $ を備えたスペクトル曲線上のバーグァー＝アキエツェル関数を用いて、最小ラグランジュトーラスの明示的変形を構成できるか？
• RQ5 最小ラグランジュトーラスにおいて、スペクトル genus が偶数である幾何的意味は何か？

主な発見

• ノヴィコフ＝ヴェゼラフ階層は、ℂP² 内の最小ラグランジュトーラスに統合可能な変形を誘導し、その際、スペクトル曲線とトーラスの自己同型型を両方とも保存する。
• ツィツェリカ方程式の滑らかな二重周期的解の空間における最高階層の流れは、ノヴィコフ＝ヴェゼラフ階層によって生成される。
• ℂP² 内の有限ギャップ最小ラグランジュトーラスのスペクトル genus は、常に偶数であり、これはスペクトル曲線上に正則的自己同型が存在するためである。
• 変形は、スペクトル曲線上のプリム・シータ関数と正規化微分形式を用いて表現されるバーグァー＝アキエツェル関数 $ \psi(P,x,y,t) $ を用いて明示的に構成される。
• 関数 $ \psi $ は $ \infty_1 $ および $ \infty_2 $ 近傍で漸近展開を満たし、これにより $ \widetilde{r}(t) $ が NV 階層の解として構成可能である。
• 初期の埋め込み $ \mathcal{H} \circ r $ の周期性は、変形後も維持され、$ \widetilde{r}(t) $ は同じ格子 $ \Lambda $ に関して周期的のままとなる。