[論文レビュー] The Nu Class of Low-Degree-Truncated, Rational, Generalized Functions. I. IMSPE in Design of Computer Experiments: Integrals and Very-Low-N, Single-Factor, Free-Ranging Designs

S. B. Crary|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンピュータ実験における統合平均二乗予測誤差（IMSPE）の正確な代数的表現から導かれる、低次数切断型有理一般化関数の族「Nuクラス」を紹介する。指数型、ガウス型、およびマトérn相関関数の下で、1要因、非常に小さなN（N=1,2）の自由範囲設計においてIMSPEがこのクラスのメンバーに簡約されることを確立し、正確な解析的最適化を可能にするとともに、実験設計における予測誤差の構造的性質を明らかにする。

ABSTRACT

We provide detailed algebra for determining the integrated mean-squared prediction error (IMSPE) of designs of computer experiments, with one factor and one or two points, under the exponential, Gaussian, or either of two Matern correlation functions. This algebra shall provide the basis for the identification of the IMSPE as a member of a special class of low-degree-truncated rational functions, which we name, here, the Nu class. We shall detail this function class in a series of papers, of which this is the first.

研究の動機と目的

• 1要因で非常に小さな標本サイズ（N=1,2）を有するコンピュータ実験における統合平均二乗予測誤差（IMSPE）の正確な代数的表現を導出すること。
• さまざまな相関関数の下で、IMSPEが新たに定義された有理関数のクラス（「Nuクラス」として知られる）のメンバーとしてどのように構造化されるかを特定すること。
• IMSPEを閉形式で特徴づけることにより、将来的なコンピュータ実験の設計における解析的・計算的進展の基盤を築くこと。
• 予測誤差の正確で漸近的でない表現を提供することで、設計点の正確な最適化を可能にすること。

提案手法

• 指数型、ガウス型、およびマトérn相関関数の2通りの形を用いて、IMSPEの正確な閉形式表現を導出する。
• N=1およびN=2の状況において、連続的かつ自由範囲の設計空間におけるIMSPEを計算するために記号的積分技術を適用する。
• 得られたIMSPEの表現が、低次の多項式を分子および分母に持つ有理関数であり、低次の次数で切断されていることを特定する。
• その関数的形を、代数的構造と切断特性に基づき、新たに定義された一般化関数のクラスとして特徴づけ、これを「Nuクラス」と命名する。
• 記号的計算と代数的簡約を用いて、異なる相関モデルにおいてIMSPEの有理的かつ低次の性質を明らかにする。
• 結果を複数の付録にまとめ、再現可能性および今後の分析のための完全な導出と代数的恒等式を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1要因、自由範囲設計、N=1およびN=2の下で、指数型、ガウス型、マトérn相関関数の下での統合平均二乗予測誤差（IMSPE）の正確な解析的形は何か？
• RQ2 異なる相関モデルにおいて、IMSPEの関数的形としての構造を体系的に分類することは可能か？
• RQ3 IMSPEは、新たに定義された有理的で低次の切断型一般化関数のクラスのメンバーとして表現可能か？ もしそうであれば、そのクラスの定義的性質は何か？
• RQ4 IMSPEの正確な計算からどのような代数的性質が生じ、それがコンピュータ実験における設計最適化の向上に寄与するか？
• RQ5 異なる相関関数の下でIMSPEの関数的形はどのように変化するか？ これには設計効率にどのような含意があるか？

主な発見

• 1要因、N=1およびN=2の設計におけるIMSPEは、分子および分母に低次の多項式を持つ有理関数として正確に表現可能である。
• 指数型、ガウス型、およびマトérn相関関数の両方の形の下で得られる正確なIMSPE表現は、すべて新たに定義された「Nuクラス」と呼ばれる関数のクラスに属する。
• Nuクラスは低次の切断と有理的構造を特徴とし、設計最適化における解析的取り扱いの可能性を提供する。
• 代数的導出により、IMSPEが漸近的ではなく、非常に小さなNに対しても正確に計算可能であることが明らかになり、非近似的設計評価の基盤が築かれる。
• IMSPEの関数的形は、相関関数の種別にかかわらず構造的に不変であり、パrameter化の違いのみが生じる。これは統一的な解析的フレームワークを示唆する。
• 結果は記号的導出によって完全に裏付けられており、20の付録にまとめられ、再現可能性が保証され、将来的に高次Nや多要因ケースへの拡張が可能である。