[論文レビュー] The number of 1...d-avoiding permutations of length d+r for SYMBOLIC d but numeric r

Shalosh B. Ekhad, Nathaniel Shar+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、記号的 $ d $ と数値的 $ r $ に対して、長さ $ d + r $ の順列のうち、長さ $ d $ の単調増加部分列を避けるものの個数を計算するための記号的・計算的技法を提示する。ロビンソン＝シェンステッド対応と精緻化されたフック長公式を用いて、$ B_d(d+r) $、つまり長さ $ d $ の単調増加部分列を含むような順列の個数について、明示的な多項式表現を導出する。さらに、アイラ・ゲゼルの行列式公式と切り詰められたベッセル関数を組み合わせ、$ d \leq 20 $ に対して $ G_d(n) $ の最初の100項を効率的に計算する。主な貢献は、ブルートフォースな列挙では到達できない範囲まで、これらの組合せ的列挙を正確かつ記号的に計算可能なアルゴリズム的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

We use the Robinson-Schensted correspondence, followed by symbol-crunching, in order to derive explicit expressions for the quantities mentioned in the title. We follow it by number crunching, in order to compute the first terms of these sequences. As an encore, we cleverly implement Ira Gessel's celebrated determinant formula for the generating functions of these sequences, to crank out many terms. This modest tribute is dedicated to one of the greatest enumerators alive today (and definitely the most modest one!), Ira Martin Gessel, who is turning 64 years-old today

研究の動機と目的

• 記号的 $ d $ と固定された数値的 $ r $ に対して、長さ $ d + r $ の順列のうち、長さ $ d $ の単調増加部分列を避けるものの個数を計算するための手法を開発すること。
• 階乗計算の限界を超えて、記号的代数と母関数を活用することで、組合せ的列挙の範囲を拡張すること。
• 長さ $ n $ の順列のうち、長さ $ d $ の単調増加部分列を避けるものの個数を数える列挙 $ G_d(n) $ の最初の100項を、$ d \leq 20 $ に対して効率的なアルゴリズム実装で計算すること。

提案手法

• ロビンソン＝シェンステッド対応を用いて、順列を標準ヤング盤に結びつけ、$ B_d(d+r) $ を少なくとも $ d $ 行と $ d + r $ 個のセルを持つヤング図形の和として表現する。
• フック長公式を適用し、形状 $ \lambda $ の標準ヤング盤の個数 $ f_\lambda $ を $ d $ の有理関数として表現することで、記号的簡略化を可能にする。
• サイズ $ d + r $ で少なくとも $ d $ 行を持つヤング図形を、高々 $ r $ 個のセルを持つコア図形 $ \mu $ を用いてパrameter化し、固定された $ r $ に対して有限な列挙を可能にする。
• フック長の積を、$ f_\mu $、$ d $ の多項式、および下降階乗の形で表し、$ f_\lambda^2 $ が $ d $ の多項式として閉形式で得られることを導出する。
• アイラ・ゲゼルの行列式公式を用い、修正ベッセル関数 $ I_{|i-j|}(2x) $ を度数 $ 2N $ まで切り詰めたもので、母関数 $ \sum_{n \geq 0} \frac{G_d(n)}{n!^2} x^{2n} $ を計算する。
• コンピュータ代数システム（Maple）において、独自の環構造を用いた除法フリーの行列式アルゴリズムを実装し、$ G_d(n) $ の最初の $ N $ 項について、記号的かつ効率的に行列式を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $ r $ に対して、長さ $ d + r $ の順列のうち、長さ $ d $ の単調増加部分列を含むものの個数 $ B_d(d+r) $ は、$ d $ の多項式として表現可能か？
• RQ2 $ G_d(n) $、つまり長さ $ n $ の順列のうち、長さ $ d $ の単調増加部分列を避けるものの個数を数える母関数の構造は何か？
• RQ3 ゲゼルの行列式公式を、コンピュータ代数システム内でどのように効率的に実装すれば、大きな $ d $ に対して $ G_d(n) $ の最初の $ N $ 項を計算できるか？
• RQ4 記号的行列式計算と切り詰められたベッセル関数を用いて、$ d \leq 20 $ に対して $ G_d(n) $ の最初の100項を計算することは可能か？
• RQ5 現在の記号的手法を用いた場合、$ G_d(n) $ の計算の計算量は、最初の $ 2d+1 $ 項を越えてどのように変化するか？

主な発見

• $ r = 0 $ から $ 5 $ まで、$ B_d(d+r) $、つまり長さ $ d + r $ の順列のうち、長さ $ d $ の単調増加部分列を含むものの個数について、明示的な多項式表現を導出しており、次数は2から10まで変動する。
• $ B_d(d+1) $ の多項式は $ d^2 + 1 $、$ B_d(d+2) $ の多項式は $ \frac{1}{2}d^4 + d^3 + \frac{1}{2}d^2 + d + 3 $ であり、$ d $ における体系的な代数的構造が確認できる。
• 本手法により、$ d \leq 20 $ に対して $ G_d(n) $ の最初の100項を計算可能であり、$ d = 20 $ の計算には Maple パッケージ Gessel64 を用いて4507秒を要した。
• $ G_3(n) $ はカタラン数（A000108）に一致し、$ G_4(n) $、$ G_5(n) $ などは既知の整数列（A005802、A047889 など）と一致しており、手法の正しさが裏付けられた。
• Maple において切り詰められたベッセル関数と独自の環構造を用いたゲゼルの行列式公式の実装により、記号的行列式計算が効率的に行え、単純な方法による指数的爆発を回避できた。
• 著者らは、$ d \leq 20 $ かつ $ n \leq 100 $ の範囲で $ G_d(n) $ を成功裏に計算し、従来の $ 2d+1 $ 項の制限を超えて、本手法のスケーラビリティを示した。