[論文レビュー] The number of closed ideals in $L(L_p)$

William B. Johnson, Gideon Schechtman|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2020

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、1 < p ≠ 2 < ∞ に対して、Banach代数 $ L(L_p) $ が正確に $ 2^{2^{ aleph_0}} $ 個の異なる閉イデアルを含むことを証明することで、演算子理論における長年の問題を解決した。著者らは、Rosenthalの $ \mathfrak{X}_q $ 空間（1 < q < 2）に特別な作用素を用いて、漸近的性質を持つ大規模で非特異なイデアルの新クラスを構成した。この性質により、既知のイデアル（特に厳密に特異な作用素を含むもの）とは異なる連続体個のイデアルが生成される。

ABSTRACT

We show that there are $2^{2^{\aleph_0}}$ different closed ideals in the Banach algebra $L(L_p(0,1))$, $1

研究の動機と目的

• 1 < p ≠ 2 < ∞ に対して、$ L(L_p) $ の閉イデアルの数に関する A. Pietsch による1978年の未解決問題を解決すること。
• 厳密に特異な作用素に含まれない、かつ非ヒルバート部分空間への射影を含まない、大規模な閉イデアルを $ L(L_p) $ に構成すること。
• 無条件基底を備えたBanach空間が、特定の漸近的性質を有する単一の作用素の存在に基づいて $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 個の閉イデアルを許容する一般基準を確立すること。
• 1 < q < 2 に対して、Rosenthalの $ \mathfrak{X}_q $ 空間が、$ L(\mathfrak{X}_q) $ で $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 個の異なるイデアルを生成するのに必要な漸近的性質を有する作用素を支持することを示すこと。
• 双対性と補完性を用いて、$ L(L_p) $ が正確に $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 個の小規模（厳密に特異な）閉イデアルを含むことを証明すること。

提案手法

• $ \mathbb{N} $ の無限部分集合の族 $ \mathcal{C} $ を、互いに最終的に有限に交わる $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 個の集合から成り、イデアルをインデックスづける。
• $ \mathfrak{X}_q $ 上に、$ \alpha \in \mathcal{C} $ によってインデックスづけられる作用素 $ T_\alpha $ が異なる閉イデアルを生成することを保証する漸近的性質を有する特別な作用素 $ T $ を定義する。
• $ \gamma_2(T) $ のファクタリゼーション定数とBanach–Mazur距離を用いて、$ \mathfrak{X}_q $ のブロック部分空間における $ T $ の漸近的挙動を制御する。
• $ \ell_q $ に同型な補完部分空間 $ Y \subset \mathfrak{X}_q $ を構成し、ブロック部分空間上でノルムと構造を保つように、$ Y \to \mathfrak{X}_q $ への作用素 $ U $ を定義する。
• 双対性と補完性を適用する：$ \mathfrak{X}_q \subset L_q $ であり、$ 1/p + 1/q = 1 $ であるから $ L_p $ は $ L_q $ の双対である。このため、結果は $ \mathfrak{X}_q $ から $ L_p $ に拡張できる。
• 厳密に特異な作用素が特定のイデアルの閉包に含まれないことを示す背理法を用いて、構成されたイデアルが厳密に特異な作用素を含まないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ 1 < p \neq 2 < \infty $ に対して、$ L(L_p) $ は連続体個の閉イデアルを含むか？
• RQ2 $ L(L_p) $ に、厳密に特異な作用素に含まれず、非ヒルバート部分空間への射影を含まない大規模な閉イデアルを構成できるか？
• RQ3 無条件基底を備えたBanach空間が、特定の漸近的性質を有する単一の作用素の存在に基づいて $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 個の閉イデアルを許容する一般基準は存在するか？
• RQ4 $ L(L_p) $ に構成されたイデアルは、厳密に特異な作用素を含むか？
• RQ5 $ L(L_p) $ には、正確に何個の小規模（厳密に特異な）閉イデアルが存在するか？

主な発見

• $ 1 < p \neq 2 < \infty $ に対して、Banach代数 $ L(L_p) $ は正確に $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 個の異なる閉イデアルを含む。
• 構成されたイデアルは大規模であるが、厳密に特異な作用素に含まれず、$ \ell_p $ に同型な部分空間への射影も含まない。
• これらのイデアルは $ \overline{\Gamma_2}(L_p) $、すなわちヒルベルト空間を介して因数分解可能な作用素の閉包に含まれない。実際、$ \overline{\Gamma_2}(L_p) $ は厳密に特異な作用素を含まない。
• 1 < q < 2 に対して、$ \mathfrak{X}_q $ 空間は、$ L(\mathfrak{X}_q) $ で $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 個の異なるイデアルを生成するのに必要な漸近的性質を有する作用素 $ T $ を許容する。
• 双対性と補完性により、同様の結果が $ L(L_p) $、$ 1 < p \neq 2 < \infty $ に対しても成り立つ。
• $ L(L_p) $ は正確に $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 個の小規模な閉イデアル（すなわち、厳密に特異な作用素）を含み、これによりさらなる未解決問題も解決された。