[論文レビュー] The number of cycles of specified normalized length in permutations

Michael Lugo|ArXiv.org|Sep 16, 2009

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、n → ∞ のとき、ランダムな置換における正規化された長さのサイクル数の極限分布を導出している。区間 [γn, δn] に対して 1/(k+1) ≤ γ < δ ≤ 1/k が成り立つ場合、その分布はポアソン( log(δ/γ) )分布の最初の k 階モーメントと一致する。一般の γ, δ に対しては、極限分布が存在し、ハイパーキューブの交差領域における積分で特徴づけられ、解析的に扱いにくいが再帰関係により計算可能である。

ABSTRACT

We compute the limiting distribution, as n approaches infinity, of the number of cycles of length between gamma n and delta n in a permutation of [n] chosen uniformly at random, for constants gamma, delta such that 1/(k+1) &lt;= gamma &lt; delta &lt;= 1/k for some integer k. This distribution is supported on {0, 1, ... k} and has 0th, 1st, ..., kth moments equal to those of a Poisson distribution with parameter log (delta/gamma). For more general choices of gamma, delta we show that such a limiting distribution exists, which can be given explicitly in terms of certain integrals over intersections of hypercubes with half-spaces; these integrals are analytically intractable but a recurrence specifying them can be given. The results herein provide a basis of comparison for similar statistics on restricted classes of permutations.

研究の動機と目的

• n → ∞ のとき、[n] の一様ランダム置換における [γn, δn] 内のサイクル長の数の極限分布を特定すること。
• この分布がポアソン( log(δ/γ) )分布の最初の k 階モーメントと一致する条件を特徴づけること。
• 一般の γ, δ に対して、明示的ではあるが解析的に扱いにくい極限分布の積分表現を提供すること。
• γ と δ が同じ区間 [1/(k+1), 1/k] 内にある場合に、分布のモーメントを計算する再帰関係を導出すること。
• 奇数または偶数のサイクル長のみを含む制限付き置換クラスにおけるサイクル統計の比較の基盤を築くこと。

提案手法

• サイクル数の階乗モーメントを生成関数を用いて扱い、サイクル数に重みを付けた置換の指数型母関数を利用する。
• 命題 1 を適用してサイクル数の同時階乗モーメントを計算し、サイクル空間が十分な場合、それらが独立なポアソン変数のモーメントと一致することを示す。
• 区間 [γn, δn] 内の総サイクル数の r 階階乗モーメントを、サイクル長の組み合わせの和として表現し、極限では多重積分に帰着する。
• 極限階乗モーメントを、z₁ + ⋯ + zᵣ ≤ 1 かつ zᵢ ∈ [γ, δ] を満たす単体上での積分として導出し、∫ (1/(z₁⋯zᵣ)) dz₁⋯dzᵣ と表す。
• 積分領域の構造と超平面との交差を踏まえて、分布関数 Qₖ(γ) の再帰関係を導入する。
• 逆ラプラス変換および母関数技法を用い、分布を Buchstab 関数および Dickman 関数と関連づけ、数論的結果との類似性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n → ∞ のとき、一様ランダム置換における [γn, δn] 内のサイクル長の数の極限分布は何か？
• RQ2 γ と δ がどのような条件下で、この極限分布がポアソン( log(δ/γ) )分布の最初の k 階モーメントと一致するか？
• RQ3 極限分布は閉形式で表現可能か、それとも解析的に扱いにくく、もしそうならどのように計算できるか？
• RQ4 1/k における臨界点での極限分布の滑らかさはどのように変化するか？
• RQ5 置換におけるサイクル数分布と、整数の因数分解における類似分布（例：Buchstab 関数および Dickman 関数）との関係は何か？

主な発見

• 1/(k+1) ≤ γ < δ ≤ 1/k のとき、[γn, δn] 内のサイクル数の極限分布は、ポアソン( log(δ/γ) )分布の 0 階から k 階までのモーメントと一致する。
• 極限 r 階階乗モーメントは、積分 ∫_{z₁+⋯+zᵣ≤1, zᵢ∈[γ,δ]} (1/(z₁⋯zᵣ)) dz₁⋯dzᵣ で与えられる。
• γ と δ が同じ区間 [1/(k+1), 1/k] 内にあるとき、極限分布は {0, 1, ..., k} 上に台を持つ。これは、そのようなサイクルが最大で k 個しか存在しないことを反映している。
• 分布関数 Qₖ(γ) は γ = 1/k で Cᵏ ではあるが Cᵏ⁺¹ ではない。これは、これらの点で滑らかさが失われることを示している。
• 一般の γ, δ に対しては、極限分布が存在し、積分構造から導かれる再帰関係により特徴づけられるが、初等関数には簡略化できない。
• 結果は Ewens 分布へと拡張可能であり、極限で [γn, δn] 内のサイクル数がパラメータ λ = ∫_{γ}^{δ} (1/x)(1−x)^{σ−1} dx を持つ準ポアソン分布に収束するという予想を示唆している。