[論文レビュー] The number of graphs and a random graph with a given degree sequence

Alexander Barvinok, J. A. Hartigan|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、与えられた次数列を持つラベル付きグラフの数を推定する計算的に効率的な漸近公式を、エッジ確率をモデル化するための最大エントロピー行列を用いて開発する。『なだらかな』次数列の条件下では、n が増加するにつれて相対誤差が消えること、およびそのような次数列を持つランダムグラフが最大エントロピーモデルによってよく近似されることを証明する。

ABSTRACT

We consider the set of all graphs on n labeled vertices with prescribed degrees D=(d_1, ..., d_n). For a wide class of tame degree sequences D we prove a computationally efficient asymptotic formula approximating the number of graphs within a relative error which approaches 0 as n grows. As a corollary, we prove that the structure of a random graph with a given tame degree sequence D is well described by a certain maximum entropy matrix computed from D. We also establish an asymptotic formula for the number of bipartite graphs with prescribed degrees of vertices, or, equivalently, for the number of 0-1 matrices with prescribed row and column sums.

研究の動機と目的

• 指定された次数列 D に対して、ラベル付きグラフの数の計算的に効率的な漸近公式を導出すること。
• G(D) に属する一様ランダムグラフの構造が、最大エントロピーモデルによってよく近似されることを特定すること。
• n → ∞ のとき、漸近公式の相対誤差が消える条件を確立すること。
• 漸近的数え上げ法を二部グラフおよび指定された行和と列和を持つ 0-1 行列へ拡張すること。

提案手法

• 次数列 D を持つすべてのグラフを表す、与えられた行和 d_i を持つ実数の対称的 0-1 行列の集合 P(D) を定義する。
• P(D) 上のエントロピー関数 H(x) を導入し、その一意的な最大化点 z を D に対する最大エントロピー行列とする。
• δ-なだらかな次数列のため、z 内のすべてのエッジ確率 ζ_{j,k} が [δ, 1−δ] の開区間に厳密に含まれることを保証し、境界での退化を回避する。
• H を z のまわりで2次までのテイラー展開し、局所的な曲率を捉える二次形式 q(t) を構築する。
• ヘッセ行列 Q の行列式と補正項 μ と ν を用いたガウス近似により、漸近的推定値を精緻化する。
• n が増加するにつれて、|G(D)| を 2e^{H(z)} / ((2π)^{n/2} √det Q) × exp(−μ/2 + ν) で近似する公式が相対誤差が消えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのクラスの次数列 D に対して、グラフの数 |G(D)| が計算的に効率的な公式によって漸近的に近似可能か？
• RQ2 G(D) に属する一様ランダムグラフの構造は、D に関連する最大エントロピー行列 z とどのように関係するか？
• RQ3 n → ∞ のとき、|G(D)| の漸近公式の相対誤差が 0 に近づくための条件は何か？
• RQ4 漸近的数え上げ法を二部グラフおよび指定された行和と列和を持つ 0-1 行列へ拡張できるか？

主な発見

• |G(D)| の漸近公式は、2e^{H(z)} / ((2π)^{n/2} √det Q) × exp(−μ/2 + ν) で与えられ、ここで z は最大エントロピー行列、Q は z から得られる正定値行列である。
• 任意の δ > 0 に対して、D が δ-なだらかであれば、n → ∞ のとき公式の相対誤差は 0 に近づき、任意の ε > 0 に対して n ≥ (1/ε)^γ(δ) を満たす。
• G(D) からのランダムグラフの構造は、最大エントロピー行列 z によってよく記述され、エッジ確率が ζ_{j,k} にほぼ等しいことを意味する。
• 同じ枠組みを用いて、公式は二部グラフおよび指定された行和と列和を持つ 0-1 行列へ拡張可能である。
• 最大エントロピー行列 z は、ある実数パラメータ λ_j を用いて ζ_{j,k} = 1 / (1 + e^{λ_j + λ_k}) を満たし、λ_j は δ に関して有界である。
• 証明により、δ-なだらかな次数列は、すべての j ≠ k に対して ζ_{j,k} ∈ [ε^4 / (1 + ε^4), 1 / (1 + ε^6)] を満たすことが示され、最大値の内部性が保証される。