[論文レビュー] The number of "magic" squares and hypercubes

Matthias Beck, Moshe Cohen+2 more|ArXiv.org|Jan 2, 2002

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、線和 $t$ を持つ $n$ 階の魔方陣、対称魔方陣、パンジャイアル魔方陣の個数が、$t$ に関する準多項式であることを確立している。明示的な次数と双対性則が与えられ、Ehrhart の半魔方陣理論を、制約付きの組合せ的対象へと拡張している。その結果、非負整数成分と固定された線和を持つ非伝統的魔方陣の数え上げ関数が、周期的係数と関数的恒等式を持つ準多項式であることが示された。

ABSTRACT

We define a magic square to be a square matrix whose entries are nonnegative integers and whose rows, columns, and main diagonals sum up to the same number. We prove structural results for the number of such squares as a function of the size of the matrix and the line sum. We give examples for small sizes and show similar results for symmetric, pandiagonal magic squares, and magic hypercubes.

研究の動機と目的

• 半魔方陣に対するEhrhartの多項式理論を、魔方陣、対称魔方陣、パンジャイアル魔方陣へ一般化すること。
• これらの魔方陣タイプの数え上げ関数 $M_n(t)$, $S_n(t)$, $P_n(t)$ の関数的形、特に次数と周期を特定すること。
• Ehrhartの半魔方陣に対する結果に類似した双対性則と零点の位置を、これらの数え上げ関数に対して確立すること。
• 半魔方陣ハイパーキューブへの分析を拡張し、その数え上げ関数が準多項式であることを証明すること。

提案手法

• 魔方陣、対称魔方陣、パンジャイアル魔方陣を、行、列、対角線の和が固定された線和 $t$ に等しい非負整数行列として定義する。
• Ehrhart理論と多面体幾何を用いて、このような行列の集合を $\mathbb{R}^{n^2}$ 内の有理多面体としてモデル化し、各行の和に関する制約を課す。
• 基礎となる多面体の構造と整数点の個数を分析することで、数え上げ関数 $M_n(t)$, $S_n(t)$, $P_n(t)$ が準多項式であることを証明する。
• 和の制約によって定義されるアフィン部分空間の次元を計算することで、これらの準多項式の次数を導出する。
• 双対性則 $F_n(-n-t) = \pm F_n(t)$ を確立し、各関数に対して $F_n(-1) = \cdots = F_n(-n+1) = 0$ が成り立つことを示す。
• 境界制約に対する再帰的代入と包含除算法を用いて、線形独立な制約の数が $d$ 次元ハイパーキューブに対して $(n-1)^d$ に等しいことを証明し、数え上げ関数の次数を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負整数成分と線和 $t$ を持つ $n \times n$ 魔方陣の個数の関数的形は何か？
• RQ2 魔方陣、対称魔方陣、パンジャイアル魔方陣の数え上げ関数の次数と周期は、半魔方陣のそれらとどのように比較できるか？
• RQ3 数え上げ関数 $M_n(t)$, $S_n(t)$, $P_n(t)$ は、$H_n(t)$ に対してEhrhartの双対性に類似した双対性則を満たすか？
• RQ4 これらの魔方陣タイプの解の多面体の次元は何か？ また、数え上げ関数の次数とどのように関係するか？
• RQ5 半魔方陣ハイパーキューブ $H_n^d(t)$ の数え上げ関数は準多項式か？ もしそうならば、その次数は何か？

主な発見

• $n \times n$ 魔方陣の数え上げ関数 $M_n(t)$ は、次数 $n^2 - 2n - 1$ の準多項式であり、$M_n(-n-t) = (-1)^{n-1} M_n(t)$ を満たし、$M_n(-1) = \cdots = M_n(-n+1) = 0$ である。
• 対称魔方陣の関数 $S_n(t)$ は、次数 $n^2/2 - n/2 - 2$ の準多項式であり、$S_n(-n-t) = (-1)^{n(n-1)/2} S_n(t)$ を満たし、$t = -1, \dots, -n+1$ で消失する。$S_4(t)$ は周期 4 で明示的に計算されている。
• パンジャイアル魔方陣の関数 $P_n(t)$ は、次数 $n^2 - 3n + 2$ の準多項式であり、$P_n(-n-t) = P_n(t)$ を満たし、$P_n(-1) = \cdots = P_n(-n+1) = 0$ である。$P_4(t)$ は周期 2 で明示的に与えられている。
• 次元 $d$、順序 $n$ の半魔方陣ハイパーキューブに対して、数え上げ関数 $H_n^d(t)$ は、次数 $(n-1)^d$ の準多項式であり、$H_n^d(-n-t) = (-1)^{n-1} H_n^d(t)$ を満たし、$t = -1, \dots, -n+1$ で零点を持つ。これは、Ehrhartの結果を高次元へと拡張する。
• 本稿では、$n, d \geq 3$ のとき $H_n^d(t)$ が多項式でないことを証明しており、$n \geq 5$ のとき $M_n(t)$, $S_n(t)$, $P_n(t)$ も多項式でないという予想を支持する。
• 明示的な公式が $M_4(t)$, $S_4(t)$, $P_4(t)$ に対して導出され、$M_4(t)$ は周期 2 の2次準多項式、$S_4(t)$ は周期 4、$P_4(t)$ は周期 2 の6次準多項式であることが示された。