[論文レビュー] The number of permutations with a given number of sequences

Marcus Kollar|ArXiv.org|Oct 15, 2006

Bayesian Methods and Mixture Models被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、生成関数と直交多項式の技法を用いて再帰を解くことにより、$ n $ 個の要素のうちちょうど $ s $ 個の増加または減少の連続列（ラン）を持つ順列の数 $ P(n,s) $ について、明示的な閉形式の式を導出する。$ \psi_i(n,s) $ の多項式、生成関数 $ u_s(x) $、および分子多項式 $ \Phi_s(x) $ についても正確な公式が提示され、CanfieldとWilfが提起した問題を解決し、先行研究における誤りを是正する。

ABSTRACT

P(n,s) denotes the number of permutations of 1,2,...n that have exactly s sequences. Canfield and Wilf [math.CO/0609704] recently showed that P(n,s) can be written as a sum of s polynomials in n. We determine these polynomials explicitly and also obtain explicit expressions for P(n,s) and its fixed-s generating function u_s(x).

研究の動機と目的

• 順列の数 $ P(n,s) $ について、$ n $ 個の要素にちょうど $ s $ 個のラン（最大の増加または減少列）を持つ明示的・閉形式の式を導出すること。
• CanfieldとWilfの再帰から得られる多項式 $ \psi_i(n,s) $ を明示的に決定し、$ P(n,s) $ が $ (s-i)^n $ 項の和として表されることを示すこと。
• 固定された $ s $ に対する生成関数 $ u_s(x) = \sum_{n=2}^\infty P(n,s)x^n $ 及びその分子多項式 $ \Phi_s(x) $ を計算し、有理生成関数形 $ \Phi_s(x)/\Delta_s(x) $ を確認・拡張すること。
• 特にCarlitzの研究における誤りを是正し、正確な導出を提供するとともに、$ n,s,i \leq 20 $ の範囲でコンピュータ代数による検証を実施すること。

提案手法

• 再帰 $ \psi_i(n,s) $ を $ \phi_i(n,t) = \psi_i(n,s-i) $ とパラメータ化し、$ s $ への依存性を低減すること。
• 生成関数 $ f(x,n,t) = \sum_i \phi_i(n,t)x^i $ を導入し、$ f $、$ x\partial f/\partial x $、および $ n $ を含む線形偏微分方程式を満たすことを示すこと。
• 解を $ f(x,n,t) = g(x,t) h(x,t)^n $ の形で仮定し、$ h(x,t) = (1-x^2)^{1/2} $ を得て、$ g(x,t) $ のための可解な常微分方程式を導出すること。
• 二項係数および超幾何項の畳み込み和を含む $ (1-x^2)^{(n-3)/2} $ 及び $ \left( \frac{2}{1+\sqrt{1-x^2}} \right)^t $ の級数展開を用いて、$ \phi_i(n,t) $ およびしたがって $ \psi_i(n,s) $ の明示的表現を抽出すること。
• $ \psi_i(n,s) $ の明示的表現を $ P(n,s) = \sum_{i=0}^{s-1} \psi_i(n,s)(s-i)^n $ の和に代入し、$ P(n,s) $ の閉形式式を導出すること。
• $ u_s(x) $ を $ n $ について和算し、分母を払って $ \Phi_s(x) $ を得る。その次数と構造を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式 $ \psi_i(n,s) $ の明示的形は何か？ これらは $ P(n,s) $ を $ (s-i)^n $ 項の和として表す。
• RQ2 固定された $ s $ に対する生成関数 $ u_s(x) $ は閉形式で表せるか？ その分子 $ \Phi_s(x) $ の構造は？
• RQ3 再帰 $ \psi_i(n,s) $ は解析的に解けるか？ その結果、$ n $ に関する正確な多項式表現が得られるか？
• RQ4 特にCarlitzの研究における $ P(n,s) $ の報告された公式は正しいか？ それらは検証可能か、是正可能か？
• RQ5 $ \Phi_s(x) $ の正確な次数と係数構造は何か？ また、分母 $ \Delta_s(x) $ とどのように関係しているか？

主な発見

• 多項式 $ \psi_i(n,s) $ は $ \psi_i(n,s) = K(s-i) \sum_{j=0}^{\lfloor i/2 \rfloor} g_{i,j} p_j(n,s-i) $ で明示的に与えられる。ここで $ K(t) = 2^{-(t-2)} $、$ g_{i,j} $ は偶奇に依存する係数、$ p_j(n,t) $ は二項係数および超幾何項の畳み込み和である。
• 生成関数 $ u_s(x) $ は $ \sum_{i=0}^{s-1} \sum_{k=0}^{\lfloor i/2 \rfloor} \frac{B_{i,k}(x,s-i)}{(1 - (s-i)x)^{k+1}} $ として表され、$ B_{i,k}(x,t) $ は $ \widetilde{\Phi}_k(tx) $ と二項係数を含む。
• 分子多項式 $ \Phi_s(x) $ の次数は $ 1 + \lceil s(s+2)/4 \rceil $ であり、$ s = 1 $ から $ 10 $ まで係数が明示的に計算されている。$ \Phi_1(x) = 2x^2 $、$ \Phi_2(x) = 4x^3 $、$ \Phi_3(x) = 2x^4(5 - 6x) $ など。
• 導出に用いられる多項式 $ \widetilde{A}_k(z) $ は因子 $ (1+z)^{k+1} $ を持ち、その係数はWZ証明付き恒等式により導出される。
• 最終的な $ \Phi_s(x) $ の式は、有理生成関数の分母を払うことにより得られ、$ \Delta_s(x) = \prod_{i=0}^{s-1} (1 - (s-i)x)^{\lfloor i/2 \rfloor + 1} $ である $ \Phi_s(x)/\Delta_s(x) $ の形を確認する。
• 計算機代数を用いて $ n,s,i \leq 20 $ の範囲で結果を検証し、正確性を確認し、特にCarlitzの公式における誤りを是正した。