[論文レビュー] The number of plane conics 5-fold tangent to a given curve

Andreas Gathmann|ArXiv.org|Jan 31, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、相対的グロモフ＝ウィッテン不変量を用いて、一般の次数$d$の平面曲線$Y$に5重接する既約平面円錐曲線の個数を計算し、非可算的境界寄与のため従来の手法では解決できなかった古典的な数え上げ問題を解消する。主な結果は$n_d$の閉形式の公式であり、この手法はK3多様体上の有理曲線の個数を計算するのにも応用され、Calabi-Yau3-fold不変量に類似した補正項が現れる。

ABSTRACT

Given a general plane curve Y of degree d, we compute the number n_d of irreducible plane conics that are 5-fold tangent to Y. This problem has been studied before by Vainsencher using classical methods, but it could not be solved there because the calculations received too many non-enumerative correction terms that could not be analyzed. In our current approach, we express the number n_d in terms of relative Gromov-Witten invariants that can then be directly computed. As an application, we consider the K3 surface given as the double cover of P^2 branched along a sextic curve. We compute the number of rational curves in this K3 surface in the homology class that is the pull-back of conics in P^2, and compare this number to the corresponding Yau-Zaslow K3 invariant. This gives an example of such a K3 invariant for a non-primitive homology class.

研究の動機と目的

• 一般の次数$d$の平面曲線$Y$に5重接する既約平面円錐曲線の個数$n_d$を計算すること。これは、数え上げ幾何学における古典的問題である。
• 円錐曲線のモジュライ空間における非可算的寄与のため、従来の手法が失敗することを解消すること。
• 相対的グロモフ＝ウィッテン理論を用いて仮想不変量を計算し、境界寄与を差し引くことで可算的数え上げ値を得ること。
• 特に非原始的ホモロジー類に対して、6次曲線を分岐被覆として持つ$\mathbb{P}^2$の2重被覆として得られるK3多様体上の有理曲線の個数を研究すること。
• 非原始的類に対するK3不変量をYau-Zaslow生成関数$G(q)$と比較し、補正項を同定すること。

提案手法

• 5点付き次数2の安定写像で$Y$に接するモジュライ空間$\overline{M}^{Y}_{(2,2,2,2,2)}(\mathbb{P}^2,2)$を用い、0次元の仮想基本類を備える。
• [Ga1]で発展された相対的グロモフ＝ウィッテン理論を用いて、障害バンドルの計算とモジュライ空間上の完全列を用いて仮想不変量$N_d$を計算する。
• 境界成分からの非可算的寄与（5個のマーク付きの2重被覆と1次元族の安定写像を含む）を同定し、それを差し引く。
• 1次元境界成分を相対的障害理論を用いて分析し、$\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^1,2)$上のチャーン類積分を用いてその寄与を計算する。
• 公式$n_d = N_d - \text{補正項}$を適用し、補正項は2重被覆の二重接線および直線の和から生じる。
• 修正された障害理論を用いて定義されるK3不変量を用い、可算的数え上げとYau-Zaslow生成関数$G(q)$を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の次数$d$の平面曲線に5重接する既約平面円錐曲線の可算的個数$n_d$は何か？
• RQ2 相対的グロモフ＝ウィッテン不変量は、この問題に対する古典的手法が失敗した非可算的寄与をどのように解消できるか？
• RQ3 6次曲線を分岐被覆として持つ$\mathbb{P}^2$の2重被覆として得られるK3多様体において、円錐曲線の引き戻し類における有理曲線の個数は何か？
• RQ4 非原始的ホモロジー類に対するK3不変量はYau-Zaslow生成関数$G(q)$とどのように関係するか？
• RQ5 Calabi-Yau3-foldグロモフ＝ウィッテン理論におけるものと類似した、多重被覆のための補正項はK3不変量に存在するか？

主な発見

• 次数$d$の曲線に5重接する既約円錐曲線の個数$n_d$は、公式\[ n_d = \frac{1}{5!} d(d-3)(d-4)(d^7 + 12d^6 - 18d^5 - 540d^4 + 251d^3 + 5712d^2 - 1458d - 14580) \]で与えられる。
• 6次曲線を分岐被覆として持つ$\mathbb{P}^2$の2重被覆として得られるK3多様体において、円錐曲線の引き戻し類における有理曲線の個数は$176256$であり、$G(q)$の$q^5$係数と一致する。
• 非原始的類$\beta = 2\pi^*\ell$に対するK3不変量は$n_{2\pi^*\ell} = G_5 + \frac{1}{8} G_2$で与えられ、ここで$G_5 = 176256$および$G_2 = 324$である。
• 補正項$\frac{1}{8} G_2$は、ノードを持つ有理曲線の正規化を介して因数分解する2重被覆から生じ、$\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^1,2)$上のチャーン類積分により計算される。
• 補正構造はCalabi-Yau3-fold不変量と一致し、一般的なパターン：$ n_\beta = \sum_k \frac{1}{k^3} G_{\frac{1}{2}(\frac{\beta}{k})^2 + 1} $が成立する。
• 古典的手法がモジュライ空間の複雑な境界成分のため失敗した状況でも、本手法は可算的不変量を正しく計算できた。