[論文レビュー] The number of quartic $D_4$-fields ordered by conductor

Salim Ali Altuğ, Arul Shankar+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、導子を基準にした四次 $D_4$-体の漸近的数え上げを決定し、主要項の明示的質量公式を確立する。$D_4$ の外部自己同型を活用し、算術不変量理論とL関数の手法を組み合わせることで、KedlayaとWoodのヒューリスティクスを検証する精度の高い漸近的評価を導出し、二次体の類群および狭義類群における4階元の数え上げへと拡張する。

ABSTRACT

We consider families of number fields of degree 4 whose normal closures over $\mathbb{Q}$ have Galois group isomorphic to $D_4$, the symmetries of a square. To any such field $L$, one can associate the Artin conductor of the corresponding 2-dimensional irreducible Galois representation with image $D_4$. We determine the asymptotic number of such quartic $D_4$-fields ordered by conductor, and compute the leading term explicitly as a mass formula, verifying heuristics of Kedlaya and Wood. Additionally, we are able to impose any local splitting conditions at any finite number of primes (sometimes, at an infinite number of primes), and as a consequence, we also compute the asymptotic number of order 4 elements in class groups and narrow class groups of quadratic fields ordered by discriminant. Traditionally, there have been two approaches to counting quartic fields, using arithmetic invariant theory in combination with geometry-of-number techniques, and applying Kummer theory together with L-function methods. Both of these strategies fall short in the case of $D_4$-fields ordered by conductor since counting quartic fields containing a quadratic subfield with large discriminant is difficult. However, when ordering by conductor, we utilize additional algebraic structure arising from the outer automorphism of $D_4$ combined with both approaches mentioned above to obtain exact asymptotics.

研究の動機と目的

• 導子が $X$ 以下である四次 $D_4$-体の漸近的数え上げを決定し、判別式を基準にした以前の結果を改善すること。
• KedlayaとWoodの $D_4$-体に関するヒューリスティクスを、主要項の明示的質量公式を導出することで検証すること。
• 有限または無限個の素数における局所的分裂条件を含める計数法を拡張し、類群統計への応用を可能にすること。
• 判別式を基準にした二次体の類群および狭義類群における4階元の漸近的数え上げを計算すること。
• 判別式に基づく計数と導子に基づく計数の間の不一致を解消し、導子に基づく定数が一貫したオイラー積質量公式から生じることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、$D_4$ を像とする2次元の非可約ガロア表現のアーティン導子を、体の順序付けの主な不変量として用いる。
• 算術不変量理論と数論的幾何の技法、L関数の手法を組み合わせ、$D_4$ の外部自己同型を活用することで、大きな二次部分体の判別式を持つ体の数え上げにおける困難を克服する。
• 主な革新は、有限および無限素数における局所的仕様 $\Sigma^{(\bullet)}$ を用いて分裂条件を課すことであり、これにより非分岐拡大および類群の元の制御が可能になる。
• 各素数において、ガロア群の構造 $D_4$ と整合するように、安定かつ適切な局所的条件の組 $(\rho_p, \rho_p')$ を構成する。
• 密度の計算と命題6.7の応用により、$D_4$-体の数が類群データと結びつけられ、漸近的数え上げが得られる。
• 主要項は、素数ごとのオイラー積 $\prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right)$ として表され、これが質量公式であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各符号 (0,2)、(1,1)、(2,0) に対して、導子が $X$ 以下の $D_4$-四次体の数はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 導子を基準にした $D_4$-体の数え上げにおける主要定数が、KedlayaとWoodのヒューリスティクスを検証する質量公式として表せるか？
• RQ3 導子に基づく $D_4$-体の数え上げは、二次体の類群および狭義類群における4階元の分布とどのように関係するか？
• RQ4 有限または無限個の素数における局所的分裂条件を数え上げに組み込むことは可能か？ その結果得られる漸近的評価は何か？
• RQ5 判別式に基づく定数と導子に基づく定数の間の差異はなぜ生じるのか？ 後者の定数は一貫したオイラー積として表せるか？

主な発見

• 導子 $\leq X$ である完全実 $D_4$-体の数は、漸近的に $\frac{1}{4} \cdot \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right) \cdot X \log X + O(X \log \log X)$ に比例する。
• 導子 $\leq X$ である複素 $D_4$-体の数は、漸近的に $\frac{3}{8} \cdot \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right) \cdot X \log X + O(X \log \log X)$ に比例する。
• 導子 $\leq X$ である完全複素 $D_4$-体の数は、漸近的に $\frac{1}{8} \cdot \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right) \cdot X \log X + O(X \log \log X)$ に比例する。
• 漸近的数え上げにおける主要定数が質量公式であることが示され、$D_4$-体の判別式に基づく計数と導子に基づく計数の不一致が解消される。
• 本手法により、指定された局所的分裂性質を持つ $D_4$-体の数え上げが可能となり、判別式を基準にした二次体の類群における4階元の漸近的数え上げが可能になる。
• 実二次体の狭義類群における4階元の漸近的評価は、$\Sigma^{(\text{c})}$-条件を用いて導出され、類体論および種数論と整合することが確認される。