[論文レビュー] The number of real roots of a bivariate polynomial on a line

Martín Avendaño|ArXiv.org|Feb 28, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実数体上の多項式 $f \in \mathbb{R}[x,y]$ が $t$ 個の非ゼロ項を持つ場合、直線 $y = ax + b$ に制限されたとき、実数解の個数に非指数的上界 $6t - 4$ が成り立つことを確立している。これは、制限された多項式が恒等的にゼロでなければ、重複度を数えても（0 および $-b/a$ はたかだか1回だけ数えるとしても）最大で $6t - 4$ 個の実数解を持つことを示しており、この結果により、実数体上のスパースな二変数多項式に対して線型因子による割り切れ検査を多項式時間で行うアルゴリズムが可能になる。

ABSTRACT

We prove that a bivariate polynomial f with exactly t non-zero terms, restricted to a real line {y=ax+b}, either has at most 6t-4 zeroes or vanishes over the whole line. As a consequence, we derive an alternative algorithm to decide whether a linear polynomial divides a bivariate polynomial (with exactly t non-zero terms) over a real number field K within [ log(H(f)H(a)H(b)) [K:Q}] log(deg(f)) t]^{O(1)} bit operations.

研究の動機と目的

• スパースな二変数多項式が実数直線に制限されたときの実数解の個数に非指数的上界を確立すること。
• 多変数設定へのデカルトの符号の法則の一般化が不足している問題に取り組むこと。
• ギャップ定理に依存しない代替のアルゴリズムを提供し、スパースな二変数多項式が線型因子で割り切れるかどうかをテストすること。
• ギャップ定理に依存せず、単変数化による特殊化を用いることで、既存のアルゴリズムを改善すること。

提案手法

• 二変数多項式 $f \in \mathbb{R}[x,y]$ を $t$ 個の非ゼロ項を持つものとして、直線 $y = ax + b$ に制限し、単変数多項式 $g(x) = f(x, ax + b)$ を得る。
• 係数ベクトルにおける符号の変化数 $V(f)$ を用いたデカルトの符号の法則の変種を用いて、実数解の個数を上界づける。
• 単変数多項式に対して $V((x+1)f) \leq V(f)$ が成り立つことを証明し、符号の変化数の帰納的制御を可能にする重要な補題を得る。
• 項数を減らしながら符号変化数を制御する変換を用いて、この境界を再帰的に適用する。
• この境界を用いて、$g(x)$ が $6t - 4$ 個より多くの実数解を持つならば、恒等的にゼロでなければならないことを示す。
• 線型因子 $y - ax - b$ による割り切れ検査のためのアルゴリズムを構築し、小さな奇数 $n$ に対して $f(x, x^n)$ を評価し、因数を含むかどうかをチェックする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二変数多項式が $t$ 個の非ゼロ項を持つ場合、実数直線に制限されたとき、最大で何個の実数解を持つことができるか？
• RQ2 このような制限された多項式の実数解の個数に対して、非指数的上界を確立できるか？
• RQ3 ギャップ定理に依存しない、スパースな二変数多項式が線型因子で割り切れるかどうかを効率的にテストするアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 係数ベクトルにおける符号変化の構造を用いて、多変数制限における根の個数を上界づけられるか？

主な発見

• 二変数多項式 $f \in \mathbb{R}[x,y]$ が $t$ 個の非ゼロ項を持ち、直線 $y = ax + b$ に制限された場合、恒等的にゼロでなければ、実数解は最大で $6t - 4$ 個である。
• $6t - 4$ の上界は非指数的であり、0 および $-b/a$ の重複度を1回だけ数える場合にも適用可能である。
• この結果により、コファンスキー型の指数的上界に依存しない、新たな素朴な方法でスパースな二変数多項式の直線制限における実数解の個数を上界づけることができる。
• 多項式 $f$ が線型因子 $y - ax - b$ で割り切れるかどうかをテストするアルゴリズムが構築され、$[\log(H(f)H(a)H(b))[K:\mathbb{Q}] oneq \log(\deg(f))t]^{O(1)}$ ビット演算で実行可能である。
• このアルゴリズムはギャップ定理に依存せず、代わりに小さな奇数 $n$ に対して単変数化 $f(x, x^n)$ を用いる。根の上界により正しさが保証される。
• もし $n \leq 12t - 5$ のある $n$ に対して $f(x, x^n) \neq 0$ ならば、$f$ は $y - ax - b$ で割り切れない。このテストは $6t - 3$ 回のチェックで完了する。