[論文レビュー] The number of singular vector tuples and uniqueness of best rank one approximation of tensors

Shmuel Friedland, Giorgio Ottaviani|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般の複素テンソルの特異ベクタータプルの数を確立し、代数幾何学およびチャーン類の計算を用いて、ランク1および部分的に対称な場合を含む、ほとんどすべての実テンソルにおける最良低ランク近似の一意性を証明する。特異ベクタータプルの正確な数式が得られ、弱い一般性条件のもとで最良低ランク近似がほとんど確実に一意であることが示される。

ABSTRACT

In this paper we discuss the notion of singular vector tuples of a complex valued $d$-mode tensor of dimension m_1 x ... x m_d. We show that a generic tensor has a finite number of singular vector tuples, viewed as points in the corresponding Segre product. We give the formula for the number of singular vector tuples. We show similar results for tensors with partial symmetry. We give analogous results for the homogeneous pencil eigenvalue problem for cubic tensors, i.e. m_1=...=m_d. We show uniqueness of best approximations for almost all real tensors in the following cases: rank one approximation; rank one approximation for partially symmetric tensors (this approximation is also partially symmetric); rank-(r_1,...,r_d) approximation for $d$-mode tensors.

研究の動機と目的

• 任意のモードおよび次元をもつ一般の複素テンソルの特異ベクタータプルの数を特定すること。
• 実テンソルの最良ランク1近似が一意となる条件を確立すること。
• 一意性の結果を部分的に対称テンソルおよびランク-$(r_1,\ldots,r_d)$ 近似に拡張すること。
• 立方テンソルの斉次ペンシル固有値問題を代数的トポロジーの道具を用いて分析すること。
• 対称テンソルの最良低ランク近似を、元のテンソルの対称性を保つように選べるかどうかを調査すること。

提案手法

• 特異ベクタータプルを複素射影空間の積内の点としてモデル化するため、セグレ埋め込みを用いる。
• ベクターバンドル理論を適用し、特定のバンドルの最高チャーン類として特異ベクタータプルの数を導出する。
• 複素および実体上で代数幾何学的手法を用い、一般性およびザリスキ位相を活用する。
• 最良低ランク近似の一意性の問題を、代数的多様体の横断性およびランク集合の閉包性に還元する。
• ヒルベルト＝シュミットノルムを用いて最良近似を定義し、測度論的議論（ほとんど everywhere での一意性）によりその一意性を分析する。
• テンソルランク理論およびフラットネッシング行列の小行列式の結果を用いて、一般ランク条件を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $m_1 \times \cdots \times m_d$ の一般の複素テンソルが持つ特異ベクタータプルの数はいかほどか？
• RQ2 実テンソルの最良ランク1近似が一意となる条件は何か？
• RQ3 元のテンソルが部分的に対称である場合、実テンソルの最良ランク-$(r_1,\ldots,r_d)$ 近似を対称に選べるか？
• RQ4 斉次ペンシル固有値問題の下で、立方テンソルの特異ベクタータプルの数は何か？
• RQ5 対称テンソルの最良低ランク近似も対称であり得るか？ また、ほとんどすべてのテンソルに対して一意であるか？

主な発見

• 一般の $d$ モード複素テンソル（サイズ $m_1 \times \cdots \times m_d$）の特異ベクタータプルの数は、セグレ積 $\mathbb{P}^{m_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{m_d-1}$ 上の特定のベクターバンドルの最高チャーン類として与えられる。
• ほとんどすべての実テンソルに対して、最良ランク1近似は一意である。ただし、テンソルがフルマルチリニアランクを持つ一般性の意味で一般であることが条件である。
• 部分的に対称テンソルに対しては、同じ一般性条件下で最良ランク1近似は一意であり、かつ対称に選べる。
• 実テンソルの最良ランク-$(r_1,\ldots,r_d)$ 近似は、次元が一般性条件 $\sum_{i=1}^d (m_i - r_i) \geq d-1$ を満たす限り、ほとんどすべてのテンソルに対して一意である。
• $d$ モードの立方テンソルで $m_1 = \cdots = m_d$ の場合、特異ベクタータプルの数は有限であり、斉次ペンシル固有値問題を用いて計算可能である。
• 最良 $\mathbf{r}$-ランク近似が一意であるテンソルの集合は、$\mathbb{R}^{m_1 \times \cdots \times m_d}$ の全測度部分集合である。つまり、ほとんど至るところで成立する。