[論文レビュー] The number of small blocks in exchangeable random partitions

Jason Schweinsberg|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、交換可能な確率的分割における重要な漸近的関係を確立する。もし、集合 $ \{1,\dots,n\} $ への分割の制限におけるブロック数 $ K_n $ が、$ 0 < \alpha < 1 $ に対して確率的に $ \Gamma(1-\alpha)n^\alpha \ell(n) $ に収束するならば、サイズ $ r $ のブロック数 $ K_{n,r} $ は確率的に $ \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! \cdot n^\alpha \ell(n) $ に収束する。この結果は、従来のほとんど確実な収束結果を確率的収束へと拡張し、集団遺伝学におけるコalescent過程に大きな影響を与える。

ABSTRACT

Suppose $Π$ is an exchangeable random partition of the positive integers and $Π_n$ is its restriction to $\{1, ..., n\}$. Let $K_n$ denote the number of blocks of $Π_n$, and let $K_{n,r}$ denote the number of blocks of $Π_n$ containing $r$ integers. We show that if $0 &lt; α&lt; 1$ and $K_n/(n^α \ell(n))$ converges in probability to $Γ(1-α)$, where $\ell$ is a slowly varying function, then $K_{n,r}/(n^α \ell(n))$ converges in probability to $αΓ(r - α)/r!$. This result was previously known when the convergence of $K_n/(n^α \ell(n))$ holds almost surely, but the result under the hypothesis of convergence in probability has significant implications for coalescent theory. We also show that a related conjecture for the case when $K_n$ grows only slightly slower than $n$ fails to be true.

研究の動機と目的

• 交換可能な確率的分割におけるブロック数の既知のほとんど確実な収束結果を、確率的収束へと拡張すること。
• 総ブロック数 $ K_n $ の漸近的成長と小ブロック数 $ K_{n,r} $ の間の関数的関係を確立すること。
• コalescent理論への応用、特に遺伝的多様性と突然変異数のモデル化における、厳密な確率的基礎を提供すること。
• $ K_n $ が $ n $ よりわずかに遅く成長する場合の挙動に関する予想を解明し、その条件下で成立しないことを示すこと。

提案手法

• 交換可能な確率的分割を、$ (P_j) $ としてのランダムな漸近的頻度によって構成し、$ \Pi $ を $ (P_j) $ を与えた下での i.i.d. サンプリングによって定義する。
• タウバリアン定理と $ \ell(n) $ の緩やかに変化する関数の性質を用いて、$ P_j $ の尾部の挙動と $ K_n $ の成長との関係を分析する。
• カップリングの議論とモーメントの上限を用いて、$ L_n $（全コalescent木の長さ）と $ L_n' $（切断されたバージョン）の差を制御し、枝に沿ったポアソン突然変異過程を用いる。
• チェビシェフの不等式とマルコフの不等式を用いて、$ K_{n,r} $ と突然変異数 $ S_n $ の確率的収束を確立する。
• 未関連突然変異数 $ B_n $ を分析して $ K_n $ の下界を評価し、$ B_n/n^\alpha \to 0 $ が確率的に成り立つことを示す。
• コalescent過程の構造を活用し、突然変異が系統に沿ってレート $ \theta $ で発生し、$ S_n $ が条件付きで平均 $ \theta L_n $ のポアソン分布に従うことを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的に $ K_n \to \Gamma(1-\alpha)n^\alpha \ell(n) $ であるとき、$ K_{n,r} \to \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! \cdot n^\alpha \ell(n) $ が確率的に成り立つ条件は何か？
• RQ2 決定的 $ P_j $ における古典的なべき乗則ブロック数の漸近的挙動は、収束が確率的である場合のランダム $ P_j $ に拡張可能か？
• RQ3 全木の長さ $ L_n $ が $ n^\alpha \ell(n) $ のように成長するとき、コalescent木内の突然変異数 $ S_n $ の極限的挙動は何か？
• RQ4 $ K_n $ が $ n $ よりわずかに遅く成長するという予想は、$ K_{n,r} $ に対して特定の漸近的形を与えるか。もし与えるならば、その形は有効か？

主な発見

• 確率的に $ K_n / (n^\alpha \ell(n)) \to \Gamma(1 - \alpha) $ ならば、$ K_{n,r} / (n^\alpha \ell(n)) \to \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! $ が確率的に成り立つ。
• サイズ $ r $ のブロックの漸近的頻度は $ \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! $ であり、これは既知のほとんど確実な収束結果を確率的収束へと一般化する。
• コalescent木内の突然変異数 $ S_n $ は、$ S_n / n^\alpha \to \theta 2^{1-\alpha} (1 - \alpha)^\alpha \pi / \sin(\pi \alpha) $ が確率的に成り立つ。
• $ (S_n - K_n)/n^\alpha \to 0 $ が確率的に成り立つため、$ K_n $ と $ S_n $ は定数項のずれを除いて漸近的に同等である。
• 未関連突然変異数 $ B_n $ は、$ B_n / n^\alpha \to 0 $ が確率的に成り立つため、$ K_n $ と $ S_n $ の漸近的同等性が裏付けられる。
• $ K_n $ が $ n $ よりわずかに遅く成長する場合の予想は、与えられた条件下で成立しないことが示された。