[論文レビュー] The number of subsets of integers with no $k$-term arithmetic progression

József Balogh, Hong Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2016

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、CameronとErdösが提起した長年の未解決問題を解決する。$[n]$ 内の $k$-AP-free 部分集合の数について、無限に多くの $n$ に対して、その数が $2^{O(r_k(n))}$ 以下であることを証明している。ここで $r_k(n)$ は最大の $k$-AP-free 部分集合のサイズを表す。主な革新点は、サイズ $\Theta(r_k(n))$ の集合が、線形より多くの $k$-項等差数列を含むことを示す新しい超飽和結果であり、これによりハイパーグラフコンテナ法を用いてタイトな境界を得ることが可能になった。

ABSTRACT

Addressing a question of Cameron and Erd\\Ho s, we show that, for infinitely many values of $n$, the number of subsets of $\\{1,2,\\ldots, n\\}$ that do not contain a $k$-term arithmetic progression is at most $2^{O(r_k(n))}$, where $r_k(n)$ is the maximum cardinality of a subset of $\\{1,2,\\ldots, n\\}$ without a $k$-term arithmetic progression. This bound is optimal up to a constant factor in the exponent. For all values of $n$, we prove a weaker bound, which is nevertheless sufficient to transfer the current best upper bound on $r_k(n)$ to the sparse random setting. To achieve these bounds, we establish a new supersaturation result, which roughly states that sets of size $\\Theta(r_k(n))$ contain superlinearly many $k$-term arithmetic progressions. For integers $r$ and $k$, Erd\\Ho s asked whether there is a set of integers $S$ with no $(k+1)$-term arithmetic progression, but such that any $r$-coloring of $S$ yields a monochromatic $k$-term arithmetic progression. Ne\\v{s}et\\v{r}il and R\\"odl, and independently Spencer, answered this question affirmatively. We show the following density version: for every $k\\ge 3$ and $\\delta>0$, there exists a reasonably dense subset of primes $S$ with no $(k+1)$-term arithmetic progression, yet every $U\\subseteq S$ of size $|U|\\ge\\delta|S|$ contains a $k$-term arithmetic progression. Our proof uses the hypergraph container method, which has proven to be a very powerful tool in extremal combinatorics. The idea behind the container method is to have a small certificate set to describe a large independent set. We give two further applications in the appendix using this idea.

研究の動機と目的

• CameronとErdösが提起した予想に従い、$[n]$ 内の $k$-AP-free 部分集合の漸近的数を特定すること。
• サイズ $\Theta(r_k(n))$ の集合における $k$-項等差数列の超飽和結果を確立すること。
• 無限に多くの $n$ に対して、$k$-AP-free 部分集合の数が $2^{O(r_k(n))}$ 以下であることを証明し、指数部の定数を除いて自明な下界と一致させること。
• $(k+1)$-項等差数列を含まないが、十分に稠密な部分集合はすべて $k$-項等差数列を含むような素数の稠密な部分集合を構成すること。これは Nešetřil と Rödl、および Spencer の結果の密度版を示している。

提案手法

• ハイパーグラフコンテナ法を用いて、$k$-AP を表すハイパーグラフにおける独立集合の数を評価する。
• 新しい超飽和結果を確立：サイズ $\Theta(r_k(n))$ の集合は、$m$ を集合のサイズとして、$\omega(m)$ 個以上の $k$-項等差数列を含む。
• パラメータ $\varepsilon = n^{-\gamma/2}$、$\tau = n^{-1/(k-1)+\gamma/2}$ を適切に選ぶことで、各コンテナ内の $k$-AP の数を制御する。
• 素数の集合 $\mathbf{P}_{\leq n}$ に対して確率的技法を用い、各素数を確率 $p = n^{-1/k}$ で独立に選択することで、$k$-AP を多く含みつつ $(k+1)$-AP を含まない稠密な集合を構成する。
• Markovの不等式を用いて、確率的に正の確率で、$k$-AP-free な $m$-部分集合がなく、$(k+1)$-AP も少ないランダム部分集合が存在することを示し、各 $(k+1)$-AP に対して1つの要素を削除することで望ましい $S'$ を構成する。
• Green-Tao定理を用いて、$\mathbf{P}_{\leq n}$ 内の $(k+1)$-AP の期待数を推定し、ランダム部分集合が少ない数のこのような数列を含むことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CameronとErdösが予想したように、無限に多くの $n$ に対して $[n]$ 内の $k$-AP-free 部分集合の数は $2^{O(r_k(n))}$ 以下に抑えられるか？
• RQ2 サイズ $\Theta(r_k(n))$ の集合に対して、$k$-AP が線形より多く含まれることを示す超飽和結果を確立できるか？
• RQ3 $(k+1)$-項等差数列を含まないが、十分に稠密な部分集合はすべて $k$-項等差数列を含むような素数の稠密な部分集合が存在するか？
• RQ4 現在の $r_k(n)$ の最良の上界を、コンテナ法を用いてスパースなランダム設定に移行できるか？

主な発見

• 無限に多くの $n$ に対して、$[n]$ 内の $k$-AP-free 部分集合の数は $2^{O(r_k(n))}$ 以下であり、指数部の定数を除いて自明な下界と一致する。
• 本論文は新しい超飽和結果を確立した：サイズ $\Theta(r_k(n))$ の任意の集合は、$m$ をそのサイズとして、$\omega(m)$ 個以上の $k$-項等差数列を含む。
• すべての $n$ に対して、$k$-AP-free 部分集合の数は $2^{O(r_k(n) \cdot (\log n)^{1/(k-1)})}$ 以下であり、無限に多くの $n$ に対してこの境界は $2^{O(r_k(n))}$ に改善される。
• $(k+1)$-項等差数列を含まないが、任意の $\delta > 0$ に対して、$S'$ のサイズの少なくとも $\delta |S'|$ の部分集合はすべて $k$-項等差数列を含むような素数の部分集合 $S'$ が存在し、そのサイズは $\Omega(n^{1-1/k}/\log n)$ である。
• ハイパーグラフコンテナ法を用いて、$k$-AP-free 集合の数に対するタイトな境界を導出し、スパースなランダム設定でさえも有効であることを示した。