[論文レビュー] The number of trees in a graph

Dhruv Mubayi, Jacques Verstraëte|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最小次数が t 以上で平均次数 d であるグラフ G における、t 条辺を持つ木 T の同型なラベル付きコピーの数について、タイトな下界を確立する。木埋め込みに関する新しい確率的帰納法を用いて、G には少なくとも $ nd(d - t + 1)^{t - 1} $ 個のこのようなコピーが存在することを証明し、パスに関する先行結果を一般化するとともに、Erdös と Simonovits の木ホモモーティズムに関する漸近的結果を、明示的な次数依存の境界を伴う同型埋め込みへと拡張する。

ABSTRACT

Let $T$ be a tree with $t$ edges. We show that the number of isomorphic (labeled) copies of $T$ in a graph $G = (V,E)$ of minimum degree at least $t$ is at least \[2|E| \prod_{v \in V} (d(v) - t + 1)^{\frac{(t-1)d(v)}{2|E|}}.\] Consequently, any $n$-vertex graph of average degree $d$ and minimum degree at least $t$ contains at least $$nd(d-t+1)^{t-1}$$ isomorphic (labeled) copies of $T$. This answers a question of Dellamonica et. al. (where the above statement was proved when $T$ is the path with three edges) while extending an old result of Erd\H os and Simonovits.

研究の動機と目的

• t 条辺を持つ木 T の同型なラベル付きコピーの数に対する非自明な下界を、最小次数が t 以上であるグラフ G に対して特定すること。
• 3 条辺を持つパスに関する [3] の先行結果を、任意の木へ一般化すること。
• 木ウォークに関する Erd\'os と Simonovits の漸近的結果を、同型埋め込みに対する明確で凸的次数依存の下界へ拡張すること。
• 文献 [3] で提起された、最小次数条件の下で同型木コピーに対する次数凸下界が存在するかという問いに答えること。

提案手法

• T の良いラベル付け（例えばBFS/DFSによるもの）を用いて、同型木埋め込み上の確率測度を定義し、すでに使用された頂点を避ける順序付き頂点選択を行う。
• 各埋め込み $ \omega $ に対して確率分布 $ \mathbb{P}(\omega) $ を定義し、各段階での利用可能な選択肢の逆数とする。このとき、頂点次数から $ t-1 $ を引いた値に基づく上限を適用する。
• t に関する帰納法を用いて、埋め込みにおける頂点 v が位置 i に配置される周辺確率 $ g_i(v) $ が $ g_i(v) \geq \frac{d(v)}{nd} $ を満たすことを証明する。対称性と再ラベル化の議論を用いる。
• 確率の積に対して算術平均と幾何平均の不等式を適用し、埋め込み総数の下界を導出する。
• 木の逆方向ラベル付け（すなわち $ p(\omega) = p(z) $）による確率関数の不変性を活用し、埋め込み列における最後の頂点を処理する。
• 凸関数 $ f(x) = (t-1)x \log(x - t + 1) $ にジャンセンの不等式を適用し、頂点次数に基づく下界から平均次数に基づく最終的な境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小次数が t 以上で平均次数 d であるグラフ G における、t 条辺を持つ木 T の同型ラベル付きコピーの数に対して、明確で凸的次数依存の下界を確立できるか。
• RQ2 結果 [3] のパスに関する一般化として、$ 2|E| \prod_{v \in V} (d(v) - t + 1)^{\frac{(t-1)d(v)}{2|E|}} $ が同型木コピーに対して成り立つか。
• RQ3 下界 $ nd(d - t + 1)^{t - 1} $ は鋭く、$ d+1 $ 頂点の互いに素なクリークのような極値グラフでは一致するか。
• RQ4 先行研究におけるホモモーフィズムのための手法を、埋め込み中に頂点の一意性を保証しなければならない同型埋め込みに適応可能か。
• RQ5 埋め込みプロセスが非可逆である場合でも、木埋め込みにおける頂点が特定の位置に現れる周辺確率が $ d(v)/nd $ で下から抑えられるか。

主な発見

• 最小次数が t 以上で平均次数 d であるグラフ G における、t 条辺を持つ木 T の同型ラベル付きコピーの数は、補題 2 で示されるように、少なくとも $ nd(d - t + 1)^{t - 1} $ 個存在する。
• 主結果である定理 1 は、$ nd \prod_{v \in V} (d(v) - t + 1)^{\frac{(t-1)d(v)}{nd}} $ の下界を確立し、以前の境界よりもタイトで構造的である。
• 証明は、頂点の利用可能性と重複数えを避けるために注意深く定義された確率測度を用いた、木埋め込みに関する新しい帰納的議論を用いる。
• 完全グラフ（または $ d+1 $ 頂点の互いに素なクリーク）では、$ nd(d-1)(d-2)\cdots(d-t+1) $ が達成され、これは下界の漸近的形と一致するため、下界は鋭い。
• 本稿は、[3] で提起された未解決問題に答え、最小次数制約の下で同型木コピーに対する次数凸下界が存在することを示した。
• 本手法により、頂点の除外による非マルコフ的プロセスであっても、木埋め込みにおける頂点が特定の位置に現れる確率が $ d(v)/nd $ で下から抑えられることを示した。