[論文レビュー] The number of unary clones containing the permutations on an infinite set

Michael Pinsker|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2004

semigroups and automata theory参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、無限集合 X 上のすべての置換を含む一項クローンの区間の濃度を決定し、それがクローンラティス全体と同程度の大きさであることを示している—具体的には、非可算で正則な X に対しては $2^{2^{\text{max}\big\vert\aleph_0\big\}}}$、特異な X に対しては $2^{\kappa^{<\kappa}}$ である。結果として、1つの例外を除き、置換群と最大の一項クローンの間の区間も極めて大きく、その大きさは集合論的公理に依存することが明らかになった。

ABSTRACT

We calculate the number of unary clones (submonoids of the full transformation monoid) containing the permutations, on an infinite base set. It turns out that this number is quite large, on some cardinals as large as the whole clone lattice. Moreover we find that, with one exception, even the cardinalities of the intervals between the monoid of all permutations and the maximal submonoids of the full transformation monoid are as large. Whether or not the only exception is of the same cardinality as the other intervals depends on additional axioms of set theory.

研究の動機と目的

• 無限集合 X 上の一項クローンで、すべての置換を含むものの数を特定すること。
• クローンラティスにおける区間 $[\mathscr{S}, \mathscr{O}^{(1)}]$ の構造と濃度を分析すること。ここで $\mathscr{S}$ は置換のモノイドを表す。
• 置換群を含む全変換モノイドの最大部分モノイドの間の区間が濃度的に大きくならないかを調査すること。
• 区間の濃度が集合論的公理にどのように依存するかを検討すること、特に特異な基数について。

提案手法

• 各関数 $f$ に対して、$\mathscr{K}$ から $\mathscr{K}$ への核列 $s_f: \mathscr{K} \to \mathscr{K}$ を定義する。ここで $\mathscr{K}$ は $\kappa$ 以下の基数の集合であり、各 $\xi$ に対して $s_f(\xi)$ は $f$ の核類のうちサイズ $\xi$ のものの個数を表す。
• 核列と像の補集合のサイズ $|X \setminus f[X]|$ を用いて、関数を置換同値類で分類する：$f = \beta \circ g \circ \gamma$ が成り立つ（$\beta, \gamma$ が置換）のは、$s_f = s_g$ かつ $|X \setminus f[X]| = |X \setminus g[X]|$ のときである。
• $\mathscr{R}$ を基数 $\kappa$ の集合とするとき、$\kappa^{<\kappa}$ および $2^{\kappa^{<\kappa}}$ の濃度を活用して、互いに比較不能な小さな無限部分集合の族を構成し、それらから相異なるクローンを生成する。
• 特異な $\kappa$ に対して、各ファイバーのサイズが $\kappa$ より小さい関数のモノイド $\mathscr{A}'$ の構造を分析し、$\mathscr{A}'$ 内の相異なる核列の数を $\kappa^{<\kappa}$ として計算する。
• $\mathscr{R}$ の $\kappa^{<\kappa}$ 個の互いに比較不能な小さな無限部分集合の存在を用いて、$[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ 内に $2^{\kappa^{<\kappa}}$ 個の相異なるクローンを構成する。
• 前完全クローンの結果を統合し、区間の大きさを計算する。正則な $\kappa$ と特異な $\kappa$ に分けて扱い、結果を一般化された連続体仮説（GCH）に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限集合 $X$ 上の一項クローンで、すべての置換を含むものの濃度は何か？
• RQ2 異なる最大の一項クローン $\mathscr{M}$ を含む置換群を含む区間 $[\mathscr{S}, \mathscr{M}]$ のサイズはどのように変化するか？
• RQ3 特異な基数 $\kappa$ に対して、区間 $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ の正確な濃度は何か？また、$2^{2^{\lambda}}$ と比較するとどうなるか？
• RQ4 $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ と $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$ の濃度が等しいかどうか。ここで $\mathscr{D}$ は $\mathscr{S}$ より上にあるすべての前完全クローンの共通部分集合である。
• RQ5 集合論的公理（特に GCH）は、置換群より上のクローンラティスの区間のサイズにどのように影響するか？

主な発見

• 無限集合 $X$ の基数が $\kappa = \aleph_\alpha$ であるとき、すべての置換を含む一項クローンの数は $2^{2^{\lambda}}$ である。ここで $\lambda = \text{max}\{\,|\alpha|, \aleph_0\,\}$ である。
• もし $\kappa$ が正則であれば、$\mathscr{S}$ より上にあるすべての前完全クローン $\mathscr{G}$ に対して区間 $[\mathscr{S}, \mathscr{G}]$ のサイズは $2^{2^{\lambda}}$ であり、同様に $\mathscr{D}$ がすべてのこのような前完全クローンの共通部分集合であるとき、$[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$ のサイズも $2^{2^{\lambda}}$ である。
• 特異な $\kappa$ で $\lambda = \kappa$ のとき、区間 $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ のサイズは $2^{\kappa^{<\kappa}}$ であるが、これは集合論的仮定に応じて $2^{2^{\kappa}}$ よりも厳密に小さい場合がある。
• $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$ のサイズは $\lambda < \kappa$ のとき $2^{2^{\lambda}}$ であるが、$\lambda = \kappa$ のときは $2^{\kappa^{<\kappa}}$ である。これは $\kappa$ の余因子と基数算術に依存することを示している。
• 区間が一様に大きくない唯一の例外は、特異な $\kappa$ に対する $\mathscr{A}'$ であり、このときの区間サイズは $2^{\kappa^{<\kappa}}$ であり、$2^{2^{\lambda}}$ よりも小さい可能性がある。
• $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ と $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$ が他の区間と同様の濃度を持つかどうかは、追加の公理に依存する。GCHのもとでは $2^{\kappa^{<\kappa}} = 2^{2^{\kappa}}$ であるが、$2^{\kappa^{<\kappa}} < 2^{2^{\kappa}}$ であることも一貫している。