[論文レビュー] The numbers of repeated palindromes in the Fibonacci and Tribonacci sequences

Yuke Huang, Zhi‐Ying Wen|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、回文要因のギャップ列の性質と再帰的構造を活用して、フィボナッチおよびトライボナッチ列の接頭辞における繰り返し回文の数を数えるためのアルゴリズムを提示する。フィボナッチ数およびトライボナッチ数における繰り返し回文の数について、$ A(f_m) = \frac{m-3}{5}f_{m+2} + \frac{m-1}{5}f_m + m + 3 $ および $ B(t_m) = \frac{m}{22}(10t_m + 5t_{m-1} + 3t_{m-2}) + \cdots + m + \frac{3}{2} $ のような明示的公式を導出しており、これらの列における繰り返し回文の数え上げについて、初めて体系的な取り扱いがなされたものである。

ABSTRACT

The Fibonacci sequence $\mathbb{F}$ is the fixed point beginning with $a$ of morphism $σ(a,b)=(ab,a)$. Since $\mathbb{F}$ is uniformly recurrent, each factor $ω$ appears infinite many times in the sequence which is arranged as $ω_p$ $(p\ge 1)$. Here we distinguish $ω_p eqω_q$ if $p eq q$. In this paper, we give algorithm for counting the number of repeated palindromes in $\mathbb{F}[1,n]$ (the prefix of $\mathbb{F}$ of length $n$). That is the number of the pairs $(ω, p)$, where $ω$ is a palindrome and $ω_p\prec\mathbb{F}[1,n]$. We also get explicit expressions for some special $n$ such as $n=f_m$ (the $m$-th Fibonacci number). The similar results are also given to the Tribonacci sequence, the fixed point beginning with $a$ of morphism $τ(a,b,c)=(ab,ac,a)$.

研究の動機と目的

• フィボナッチおよびトライボナッチ列における繰り返し回文の数え上げの体系的メソッドの開発。
• 複雑な位置配置のため、これらの列におけるすべての回文の出現を追跡する課題への対処。
• 特にフィボナッチ数およびトライボナッチ数における特定の長さでの繰り返し回文の数の明示的閉形式表現の確立。
• ギャップ列および再帰的構造的性質を用いて、$m$-ボナッチおよびエピスターミアン列へのアプローチの一般化。

提案手法

• フィボナッチおよびトライボナッチ列のギャップ列の性質を用いて、各回文の連続する出現間の間隔を分析する。
• カーネル語に基づくシリンダーおよびチェーン構造への分解により、回文の集合の再帰的構造を構築する。
• 接頭辞 $\mathbb{F}[1,n]$ や $\mathbb{T}[1,n]$ における各回文の出現回数の合計として、繰り返し回文の数を定義し計算する。
• カーネル語 $K_m$ の再帰的構造を用いて、回文数の再帰関係を導出する。
• シリンダー分解 $\mathcal{P}_F = \langle a\rangle \cup \langle b\rangle \cup \langle aa\rangle$ および $\mathcal{P}_T = \langle a\rangle \cup \langle b\rangle \cup \langle c\rangle \cup \langle aa\rangle$ を用いて、長さおよび中心文字に基づき回文を分類する。
• 数学的帰納法およびフィボナッチ数およびトライボナッチ数の既知の恒等式を用いて、$A(n)$ および $B(n)$ の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $n$ に対して、フィボナッチ列接頭辞 $\mathbb{F}[1,n]$ における繰り返し回文の数を効率的に計算する方法は何か？
• RQ2 $m$ 番目のフィボナッチ数 $f_m$ における $\mathbb{F}[1,f_m]$ における繰り返し回文の正確な数は何か？
• RQ3 同様のアルゴリズム的および分析的枠組みをトライボナッチ列に拡張し、繰り返し回文の数を計算できるか？
• RQ4 フィボナッチおよびトライボナッチ列のどの構造的性質が、繰り返し回文数の明示的公式の導出を可能にするか？

主な発見

• ギャップ列および再帰的回文構造を用いて、$\mathbb{F}[1,n]$ における繰り返し回文数 $A(n)$ を計算するためのアルゴリズムが開発された。
• 明示的公式が $A(f_m)$ に対して導出された：$ A(f_m) = \frac{m-3}{5}f_{m+2} + \frac{m-1}{5}f_m + m + 3 $（$m \geq 0$ に対して）。
• トライボナッチ列に対しては、$B(t_m)$ について明示的公式が得られた：$ B(t_m) = \frac{m}{22}(10t_m + 5t_{m-1} + 3t_{m-2}) + \frac{1}{22}(-23t_m + 12t_{m-1} - 5t_{m-2}) + m + \frac{3}{2} $（$m \geq 0$ に対して）。
• 新たに定義されたシリンダーおよびチェーン構造を用いて、既知の回文数および共役性の性質を回復することで、手法の妥当性が検証された。
• チェーン構造 $\bigcup_{m=-1}^{\infty} \langle K_m,1\rangle = \mathbb{N}$ は、フィボナッチ列の豊かさを裏付けており、$\mathbb{F}[1,n]$ に $n$ 個の異なる空でない回文が存在することを示している。
• 本稿は、ギャップ列の性質が分かっている限り、このアプローチが $m$-ボナッチおよびエピスターミアン列へ一般化可能であることを示している。