[論文レビュー] The omega-tends-to-infinity limit of Brans-Dicke theory

Valerio Faraoni|arXiv (Cornell University)|May 14, 1998

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、物質エネルギー運動量テンソルのトレースがゼロ（$T=0$）であるとき、ブラウン＝ディック理論（BD理論）が一般相対性理論（GR）の $\omega\to\infty$ 限界に還元されないことを厳密に示している。共形変換技術を用いて、BDスカラーフィールドの漸近的挙動 $\phi = \phi_0 + \mathcal{O}(1/\sqrt{\omega})$ を導出し、共形不変性の下で標準的な $\mathcal{O}(1/\omega)$ 限界が失敗する理由を説明している。また、$T\neq 0$ のときのみGRが回復されることを示している。

ABSTRACT

The standard tenet that Brans-Dicke theory reduces to general relativity in the omega-tends-to-infinity limit has been shown to be false when the trace of the matter energy-momentum tensor vanishes. The issue is clarified in a new approach and the asymptotic behaviour of the Brans-Dicke scalar is rigorously derived.

研究の動機と目的

• ブラウン＝ディック理論が $\omega\to\infty$ 限界において一般相対性理論に還元されるかどうかという長年の問題を解決すること。
• 物質エネルギー運動量テンソルのトレース $T$ がゼロであるとき、BDスカラーフィールドの標準的 $\mathcal{O}(1/\omega)$ 渐近的挙動がなぜ失敗するかを明確にすること。
• 共形場理論的手法を用いて、$T=0$ の下でBDスカラーフィールドの $\mathcal{O}(1/\sqrt{\omega})$ 渐近的挙動を厳密に数学的に導出すること。
• 共形不変性が $T=0$ のとき $\omega\to\infty$ 限界がGRを生まない理由を説明し、GRが実際に回復される条件を明確にすること。

提案手法

• 論文は、共形変換 $\tilde{g}_{\mu\nu} = \Omega^2 g_{\mu\nu}$ を用い、$\Omega = \phi^\alpha$ として、BD作用を新しいフレームに写像し、理論の共形不変性を明確にする。
• BDスカラーフィールドを $\sigma = \phi^{1-2\alpha}$ で再定義することで、新しいパrameter $\tilde{\omega}$ を用いたBD理論と等価な作用形に変換し、$\tilde{\omega}$ を $\omega$ から $\tilde{\omega} = \frac{\omega - 6\alpha(\alpha-1)}{(1-2\alpha)^2}$ で導出する。
• $\omega = 0$ とし、$\tilde{\omega}\to\infty$ 限界で $\alpha$ を解くと $\alpha \to 1/2$ となり、漸近的挙動 $\sigma \approx 1 \mp \left(\frac{3}{2\tilde{\omega}}\right)^{1/2} \ln\phi$ を得る。
• 分析により、$T=0$ のとき $\omega\to\infty$ 限界は、GR を含まない共形同値類 $\mathcal{E}$ 内の変換に対応し、GR への収束が不可能であることが示された。
• $T\neq 0$ のとき、共形不変性が破れ、$\mathcal{O}(1/\omega)$ 行動 $\phi = \phi_0 + \mathcal{O}(1/\omega)$ が数量的推定により回復されるが、厳密な導出は未解決のままである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物質エネルギー運動量テンソルのトレース $T$ がゼロであるとき、BD理論の $\omega\to\infty$ 限界が一般相対性理論を生じるか？
• RQ2 なぜ $T=0$ の場合、BDスカラーフィールドの標準的 $\mathcal{O}(1/\omega)$ 渐近的挙動が失敗するのか？
• RQ3 共形不変性が $T=0$ 時に $\omega\to\infty$ 限界がGRを生まないのを防ぐのか、そのメカニズムは？
• RQ4 共形場理論的手法を用いて、$T=0$ 時のBDスカラーフィールドの $\mathcal{O}(1/\sqrt{\omega})$ 挙動を厳密に導出できるか？
• RQ5 $\omega\to\infty$ 限界においてBD理論が実際にGRを再現する条件は何か？

主な発見

• $T$ がゼロであるとき、BD理論の $\omega\to\infty$ 限界は、その理論的共形不変性のため一般相対性理論に還元されない。
• $T=0$ のとき、BDスカラーフィールドは $\phi = \phi_0 + \mathcal{O}(1/\sqrt{\omega})$ の漸近的挙動を示すが、これは標準的な $\mathcal{O}(1/\omega)$ 期待とは矛盾する。
• この $\mathcal{O}(1/\sqrt{\omega})$ 挙動は、共形変換を用いて厳密に導出され、特に $\tilde{\omega}\to\infty$ 限界を $\omega=0$ と $\alpha\to 1/2$ から分析することで得られた。
• 共形変換フレームワークにより、$\omega\to\infty$ 限界がGR を含まない共形同値類 $\mathcal{E}$ 内の移動に対応することを明らかにした。これにより、$T=0$ 時にGR が回復されない理由が説明された。
• $T\neq 0$ のとき、共形不変性が破れ、標準的 $\mathcal{O}(1/\omega)$ 挙動 $\phi = \phi_0 + \mathcal{O}(1/\omega)$ が回復されるが、厳密な導出は未解決のままである。
• 本研究は、非自明な問題を浮き彫りにした：$T\neq 0$ 時にBD理論の場の運動方程式が $\omega\to\infty$ 限界でアインシュタイン方程式に収束するとしても、正確な解がGRの解に収束するかどうかは未解決のままである。