[論文レビュー] The one-way communication complexity of the Boolean Hidden Matching Problem

Iordanis Kerenidis, Ran Raz|ArXiv.org|Jul 25, 2006

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、フーリエ解析とKKL不等式を用いて、ブール型隠れマッチング問題の確率的1方向通信複雑度に対してΩ(√n)のタイトな下界を確立する。量子プロトコルは同じ問題に対してO(log n)量子ビットの複雑度を達成するため、量子と古典的1方向通信複雑度の間で指数的分離が生じることを示している。

ABSTRACT

We give a tight lower bound of Omega(\sqrt{n}) for the randomized one-way communication complexity of the Boolean Hidden Matching Problem [BJK04]. Since there is a quantum one-way communication complexity protocol of O(\log n) qubits for this problem, we obtain an exponential separation of quantum and classical one-way communication complexity for partial functions. A similar result was independently obtained by Gavinsky, Kempe, de Wolf [GKdW06]. Our lower bound is obtained by Fourier analysis, using the Fourier coefficients inequality of Kahn Kalai and Linial [KKL88].

研究の動機と目的

• ブール型隠れマッチング問題の確率的1方向通信複雑度に対してタイトな下界を確立すること。
• 部分関数の1方向モデルにおいて、量子と古典的通信複雑度の間で指数的分離を示すこと。
• フーリエ解析とKKL不等式を用いて下界を導出すること。
• プロンプト問題における量子通信の強力さを浮き彫りにする定量的分離を提供すること。

提案手法

• 隠れマッチング問題に関連するブール関数におけるフーリエ解析を用いる。
• カーン、カライ、リンゲル（KKL88）が提示したフーリエ係数の不等式を用いて、変数の影響力を制限する。
• フーリエ解析のアプローチの基盤としてボナミ＝ベクナー不等式を活用する。
• マッチングと文字列のハミング重みを分析し、関数のフーリエスペクトルの構造を特徴付ける。
• 通信複雑度問題をフーリエ係数の集中度に関する問いに変換する。
• √n未満の通信プロトコルを仮定することで矛盾を導出し、入力集合Aのサイズに対する上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブール型隠れマッチング問題の確率的1方向通信複雑度は何か？
• RQ2 この問題に対して、量子プロトコルは古典的プロトコルよりも著しく低い通信コストを達成できるか？
• RQ3 部分関数に関して、量子と古典的1方向通信複雑度の間に指数的ギャップが存在するか？
• RQ4 フーリエ解析は、通信複雑度におけるタイトな下界を確立するためにどのように用いられるか？
• RQ5 KKL不等式は、通信複雑度の下界を分析する際に果たす役割は何か？

主な発見

• ブール型隠れマッチング問題の確率的1方向通信複雑度はΩ(√n)であり、これはタイトである。
• 同じ問題に対して、O(log n)量子ビットの通信複雑度を持つ量子1方向プロトコルが存在する。
• これは、部分関数に関して、量子と古典的1方向通信複雑度の間で指数的分離を確立する。
• 下界はフーリエ解析とKKL不等式を用いて導出され、ボナミ＝ベクナー不等式が重要な技術的ツールとして機能する。
• 任意の有効なメッセージ集合Aのサイズは2^{2n - Ω(√n)}で抑えられ、したがって少なくともΩ(√n)ビットの通信が必要であることが示される。
• この結果は、プロンプト問題における1方向モデルにおいて、量子通信が古典的通信に対して指数的優位性を示していることを確認する。