[論文レビュー] The Oort conjecture on Shimura curves in the Torelli locus of curves

Xin Lü, Kang Zuo|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、$g > 11$ の場合、Mumford 型および $g$ 重自己積をパラメータ化する楕円曲線のクラスの、種数 $g$ の曲線の Torelli 部分多様体に含まれる特定のクラスの Shimura 曲線について、Oort の予想を証明する。さらに、$g > 7$ の場合、双曲的 Torelli 部分多様体に含まれる Shimura 曲線は存在しないことを示し、完全に分解可能なヤコビ多様体を持つ滑らかな曲線の有限性を示し、Ekedahl と Serre の問いに応える。

ABSTRACT

Oort has conjectured that there do not exist Shimura curves contained generically in the Torelli locus of genus-$g$ curves when $g$ is large enough. In this paper we prove the Oort conjecture for Shimura curves of Mumford type and Shimura curves parameterizing principally polarized $g$-dimensional abelian varieties isogenous to $g$-fold self-products of elliptic curves for $g>11$. We also prove that there do not exist Shimura curves contained generically in the Torelli locus of hyperelliptic curves of genus $g>7$. As a consequence, we obtain a finiteness result regarding smooth genus-$g$ curves with completely decomposable Jacobians, which is related to a question of Ekedahl and Serre.

研究の動機と目的

• 十分に大きな $g$ に対して、種数 $g$ の曲線の Torelli 部分多様体に一般に含まれる正次元の特殊部分多様体（特に Shimura 曲線）は存在しないという Oort の予想を証明すること。
• この結果を、楕円曲線の $g$ 重自己積をパラメータ化する Shimura 曲線および双曲的曲線に拡張すること。
• 完全に分解可能なヤコビ多様体を持つ滑らかな種数 $g$ の曲線についての有限性結果を確立し、Ekedahl と Serre の問いに応えること。
• 対象となる半安定曲線の族の幾何構造を制約するために、対数的 Higgs バンドルとアラケロフ型不等式を適用すること。

提案手法

• モジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ 上の曲線における Hodge 構造の変動を分析するために、対数的 Higgs バンドルを用いる。
• 半安定曲線の族に厳密なアラケロフ不等式を適用し、Shimura 曲線の存在に関する幾何的制約を導出する。
• 半安定曲線の族に対する、Miyauka-Yau 型不等式および鋭い傾き不等式を用いて不変量をバインドする。
• 双曲的半安定族に対する $R^1\bar{f}_*\mathbb{Q}$ の平坦部分を分析し、モノドロミーとホッジ的性質を研究する。
• モジュライ空間 $\mathcal{S}_g$ 上の自己同型 $\sigma_g$ を用い、双曲的自己同型とモジュライ空間の構造を関連付ける。
• 微分幾何的および算術的技法を組み合わせ、特に Shimura 多様体における特殊部分多様体の理論および CM 点の理論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g > 11$ の場合、種数 $g$ の曲線の Torelli 部分多様体に一般に含まれる Mumford 型の Shimura 曲線は存在するか？
• RQ2 $g > 11$ の場合、楕円曲線の $g$ 重自己積をパラメータ化する Shimura 曲線は、一般に Torelli 部分多様体に含まれるか？
• RQ3 $g > 7$ の場合、双曲的曲線の Torelli 部分多様体に一般に含まれる Shimura 曲線は存在するか？
• RQ4 完全に分解可能なヤコビ多様体を持つ滑らかな種数 $g$ の曲線について、どのような有限性性質が成り立つか？
• RQ5 厳密なアラケロフ不等式および Miyauka-Yau 型不等式は、$\mathcal{A}_g$ 内の半安定曲線の族の幾何にどのように制限を加えるか？

主な発見

• $g > 11$ の場合、種数 $g$ の曲線の Torelli 部分多様体に一般に含まれる Mumford 型の Shimura 曲線は存在しない。
• $g > 11$ の場合、楕円曲線の $g$ 重自己積をパラメータ化する Shimura 曲線は、一般に Torelli 部分多様体に含まれない。
• $g > 7$ の場合、双曲的曲線の Torelli 部分多様体に一般に含まれる Shimura 曲線は存在しない。
• これらの結果は、ヤコビ多様体が楕円曲線の積に同種である滑らかな種数 $g$ の曲線の有限性を示し、Ekedahl と Serre の問いの特殊ケースを解決する。
• 厳密なアラケロフ不等式および Miyauka-Yau 型不等式が、このような Shimura 曲線の存在を妨げる有効な道具であることが示された。
• 双曲的半安定族に対する $R^1\bar{f}_*\mathbb{Q}$ の平坦部分の分析により、モノドロミーとホッジ的制約を通じて、非存在結果を支持する。