[論文レビュー] The open-closed string map revisited

Alexander F. Ritter, Ivan Smith|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Abouzaidの生成条件を単調な設定に拡張し、オープン・クローズドおよびクローズド・オープン・ストリング写像を通じて、ラップドとコンパクトな Fukaya 圏を結ぶ関手的枠組みを構築する。Hochschild (co)同調群に、量子およびシンプレクティック同調群と整合する加群構造を確立し、射影空間上の単調な負のラインバンドルに対してラップド圏の正規性を証明するとともに、トーリック Fano 多様体上のそれらのバンドルに対してシンプレクティック同調群の非自明性、および本質的で非可動なラグランジュアン・トーラスの存在を示す。

ABSTRACT

We build the wrapped Fukaya category W(E) for any monotone symplectic manifold, convex at infinity. We define the open-closed and closed open-string maps. We study their algebraic properties and prove that the string maps are compatible with the eigenvalue splitting of W(E). We extend Abouzaid's generation criterion from the exact to the monotone setting. We construct an acceleration functor from the compact Fukaya category which on Hochschild (co)homology commutes with the string maps and the canonical map from quantum cohomology QH(E) to symplectic cohomology SH(E). We define the QH(E)- and SH(E)-module structure on the Hochschild (co)homology of W(E) which is compatible with the string maps. The module and unital algebra structures, and the generation criterion, also hold for the compact Fukaya category F(E), and also hold for closed monotone symplectic manifolds. As an application, we show that the wrapped category of any monotone negative line bundle over any projective space is proper (cohomologically finite). For any monotone negative line bundle E over a toric Fano variety, we show that SH(E) is non-trivial and that W(E) contains an essential non-displaceable monotone Lagrangian torus.

研究の動機と目的

• Exact な設定から単調なシンプレクティック設定へ Abouzaid の生成条件を一般化すること。
• 単調な文脈におけるオープン・クローズドおよびクローズド・オープン・ストリング写像を定義し、その性質を調べること。
• ストリング写像と、量子同調群からシンプレクティック同調群への自然写像を保存する、コンパクトな Fukaya 圏からラップド Fukaya 圏への加速関手を構成すること。
• ストリング写像と整合する QH(E)- および SH(E)- 加群構造を、ラップド Fukaya 圏の Hochschild (co)同調群に導入すること。
• 射影空間上の任意の単調な負のラインバンドルのラップド圏が正規であること、およびトーリック Fano 多様体上のそれらのバンドルが非自明なシンプレクティック同調群と本質的で非可動なラグランジュアン・トーラスを有することを確立すること。

提案手法

• 無限大で凸である任意の単調なシンプレクティック多様体に対して、ラップド Fukaya 圏 W(E) を構成する。
• オープン・クローズドおよびクローズド・オープン・ストリング写像を定義し、W(E) における固有値分解とその整合性を証明する。
• コンパクト Fukaya 圏 F(E) から W(E) への加速関手を導入し、ストリング写像および Hochschild (co)同調群上での自然写像 QH(E) → SH(E) と可換であることを示す。
• W(E) の Hochschild (co)同調群に、ストリング写像と整合する QH(E)- および SH(E)- 加群構造を導入する。
• 代数的枠組みを用いて、特に射影空間上の単調な負のラインバンドルおよびトーリック Fano 多様体上のそれらを含む具体的な幾何的例を分析する。
• 形式的枠組みを適用し、射影空間上の負のラインバンドルに対して W(E) のコホモロジー的有限性（正規性）と、トーリック Fano 多様体上のそれらのバンドルに対して SH(E) の非自明性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Abouzaid の生成条件を、Exact な設定から単調なシンプレクティック設定へどのように拡張できるか。
• RQ2 単調な場合におけるオープン・クローズドおよびクローズド・オープン・ストリング写像の正確な代数的構造は何か。また、固有値分解とはどのように相互作用するか。
• RQ3 ストリング写像および量子同調群からシンプレクティック同調群への写像を保存する、コンパクトな Fukaya 圏とラップド Fukaya 圏との間の加速関手をどのように構成できるか。
• RQ4 ラップド Fukaya 圏の Hochschild (co)同調群に存在する加群構造は何か。また、それらは量子同調群およびシンプレクティック同調群とどのように整合するか。
• RQ5 この代数的枠組みから、特に射影空間上の単調な負のラインバンドルおよびトーリック Fano 多様体上のそれらに対してどのような幾何的帰結が得られるか。

主な発見

• 任意の射影空間上の単調な負のラインバンドル E に対して、ラップド Fukaya 圏 W(E) は正規であり、すなわちコホモロジー的に有限である。
• 任意のトーリック Fano 多様体上の単調な負のラインバンドル E に対して、シンプレクティック同調群 SH(E) は非自明である。
• トーリック Fano 多様体上の単調な負のラインバンドルに対して、W(E) は本質的で非可動な単調なラグランジュアン・トーラスを含む。
• W(E) の Hochschild (co)同調群には、ストリング写像と整合する明確に定義された QH(E)- および SH(E)- 加群構造が存在する。
• W(E) に対して確立された代数的構造および生成条件は、コンパクト Fukaya 圏 F(E) および閉じた単調なシンプレクティック多様体に対しても成り立つ。
• F(E) から W(E) への加速関手は、ストリング写像および Hochschild (co)同調群上での自然写像 QH(E) → SH(E) と可換である。