[論文レビュー] The open Gromov-Witten-Welschinger theory of blowups of the projective plane

Asaf Horev, Jake P. Solomon|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、複素射影平面の任意の実および共役点対配置における吹き上げのWelschinger不変量を計算する再帰的アルゴリズムを確立する。この手法は、開Gromov-Witten不変量と一般化されたWDVV方程式を用いる。主な貢献は、閉Gromov-Witten不変量と有限個の初期値から、すべての不変量を完全に再構成できることであり、del Pezzoおよび非del Pezzoの場合を含め、明示的な計算が可能になる。

ABSTRACT

We compute the Welschinger invariants of blowups of the projective plane at an arbitrary conjugation invariant configuration of points. Specifically, open analogues of the WDVV equation and Kontsevich-Manin axioms lead to a recursive algorithm that reconstructs all the invariants from a small set of known invariants. Example computations are given, including the non-del Pezzo case.

研究の動機と目的

• CP²の任意の共役不変点配置における実吹き上げのWelschinger不変量を計算すること。
• Kontsevich-Maninの公理的枠組みを、実シンプレクティック幾何における開Gromov-Witten不変量へと拡張すること。
• 有限個の初期値と閉Gromov-Witten不変量から、すべてのWelschinger不変量を再構成する再帰的アルゴリズムを確立すること。
• トロピカル幾何および代数幾何的手法を用いて、低次のケースにおける先行結果と整合性を確認すること。

提案手法

• 反シンプレクティック自己同型の固定集合上にある境界を持つJ-正則ディスクのモジュライ空間を介して、開Gromov-Witten不変量を実シンプレクティック多様体へ適応する。
• 一般化されたWDVV方程式と開Kontsevich-Manin公理を適用し、開不変量の再帰的関係を導出する。
• GöttscheとPandharipandeによって計算された吹き上げ空間の閉Gromov-Witten不変量を入力データとして用いる。
• 関係式(OGW1)〜(OGW5)に基づく再帰的アルゴリズムを用いて、初期値から開不変量を計算する。
• 次数の条件と消滅条件を用いて、直接計算を要するケースの数を削減する。
• Mapleプログラムを実装し、さまざまな次数および点配置に対して明示的な不変量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CP²の任意の実および共役点配置における吹き上げのWelschinger不変量は、有限個の初期値から完全に再構成可能か？
• RQ2 開Gromov-Witten不変量は、実シンプレクティック設定における一般化されたWDVV方程式およびKontsevich-Manin公理をどのように満たすか？
• RQ3 開Gromov-Witten不変量とWelschinger不変量の間の明確な関係は、Genus 0でどのように規定されるか？
• RQ4 非del Pezzoの場合（例：r+2s > 6）では、不変量はどのように振る舞うか？
• RQ5 再帰的構造を用いて、効率的に不変量を計算し、トロピカル幾何の結果と整合性を確認できるか？

主な発見

• CP²_{r,s}のWelschinger不変量は、開Kontsevich-Manin公理、開WDVV方程式、CP²_{r+2s}の閉Gromov-Witten不変量、および有限個の初期値によって完全に決定される。
• アルゴリズムは、非del Pezzoの場合（例：次数8以上）に対しても正常に動作し、Γ_{[8,(2⁵),0],13} = -2,824,394,880のような結果を生成する。
• r=10, s=0の場合、Γ_{[10,(3⁵),0],14} = -276,649,331,840 が得られ、低次のケースを越えた計算の可能性が示された。
• 本手法は、既知のトロピカル幾何の結果を再現しており、r+2s ≤ 3 の場合のBrugalléとMikhalkin、および純粋に実制約のItenbergらの結果を含む。
• 開Gromov-Witten不変量とWelschinger不変量の符号関係は、Γ_{[d,α,β],k} = ±2^{1−l} W_{...,l} として明示的に与えられ、ここで l = (3d − |α| − 2|β| − k − 1)/2 である。
• アルゴリズムはMapleで実装されており、s > 0 個の共役点対を含むさまざまな配置において一貫性のある結果を生成している。