[論文レビュー] The open mapping theorem and the fundamental theorem of algebra

Daniel Reem|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素積分やべき級数に依存せずに、バナッハまたはブロウワーの不動点定理を用いて、正則関数の開写像定理の新しい初等的証明を提示する。これにより、位相的議論を用いて代数学の基本定理を導出し、任意の非定数多項式はℂに根を持つことが示される——これはかつてブロウワーの不動点定理のみを用いて到達可能であるとされていなかった結果である。

ABSTRACT

This note is devoted to two classical theorems: the open mapping theorem for analytic functions (OMT) and the fundamental theorem of algebra (FTA). We present a new proof of the first theorem, and then derive the second one by a simple topological argument. The proof is elementary in nature and does not use any kind of integration (neither complex nor real). In addition, it is also independent of the fact that the roots of an analytic function are isolated. The proof is based on either the Banach or Brouwer fixed point theorems. In particular, this shows that one can obtain a proof of the FTA (albeit indirect) which is based on the Brouwer fixed point theorem, an aim which was not reached in the past and later the possibility to achieve it was questioned. We close this note with a simple generalization of the FTA. A short review of certain issues related to the OMT and the FTA is also included.

研究の動機と目的

• 複素積分やべき級数に依存せずに、正則関数の開写像定理の新しい初等的証明を提供すること。
• ℂの連結性に基づく位相的議論を用いて、代数学の基本定理（FTA）を確立すること。
• 代数的基本定理がブロウワーの不動点定理から間接的に導かれることが示されることを証明し、その導出の可能性について長年の懸念を解消すること。
• 像の閉包性と関数合成に基づいて、整関数が全射となるための十分条件を同定することにより、FTAを一般化すること。

提案手法

• リプシッツ連続性とℂにおける閉球の完備性に依存して、バナッハの不動点定理を用いて開写像定理を証明する。
• 多項式の先頭項の逆と複素根関数の分枝を含む写像 T(ξ) を定義し、f(z) = w を解く。
• バナッハの定理の代わりにブロウワーの不動点定理を用い、コンパクトな凸集合内での解の存在を保証する。
• 非定数多項式 f の像 f(ℂ) が開（開写像定理により）かつ閉（逐次コンパクト性により）であることを示し、ℂ に等しいことを結論づける。
• 全射性の条件を同定することでFTAを一般化し、例えば f(z) = p(g(z)) + q(1/g(z)) のような特定の関数形や、全射な正則写像の合成が成り立つ場合を含む。
• ℂ が連結であることと f(ℂ) が開かつ閉であることを活用し、孤立根や解析接続を必要とせずに f(ℂ) = ℂ を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則関数の開写像定理は、複素積分やべき級数に依存せずに証明可能か？
• RQ2 ブロウワーの不動点定理から直接的かつ初等的に代数学の基本定理を導くことは可能か？
• RQ3 多項式を超えた整関数が全射となるための条件は何か？
• RQ4 ℂ の位相的構造（特に連結性）は、正則関数の像の開性と閉性とどのように関係するか？
• RQ5 関数合成と既知の全射写像を用いて、特定のクラスの整関数の全射性を特徴づけることは可能か？

主な発見

• バナッハの不動点定理を用いた新しい開写像定理の証明が確立され、積分やべき級数に依存せず、孤立根の性質にも依存しない。
• 代数学の基本定理が系として導かれる：任意の非定数多項式 f: ℂ → ℂ は全射であり、したがってℂに根を持つ。
• 証明により、ブロウワーの不動点定理が間接的にFTAを導くことができることが示され、その導出の可能性についての過去の懸念が解消された。
• 任意の非定数多項式 f の像 f(ℂ) はℂにおいて開かつ閉であり、ℂが連結であることから f(ℂ) = ℂ である。
• FTAの一般化が提供される：整関数 f が全射であるための必要十分条件は、その像が閉であることであり、例として g が零点を持たず p, q が非定数多項式であるとき f(z) = p(g(z)) + q(1/g(z)) が全射となる。
• 関数 f(z) = cos⁷(z² + z + i) − 3cos(z² + z + i) + 1 が全射であり、したがって根を持つことが示され、一般化された基準の適用可能性が裏付けられた。