[論文レビュー] The Optimal Filtering of Markov Jump Processes in Additive White Noise

Moshe Zakai|ArXiv.org|Apr 19, 2009

Neural Networks and Applications参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、加法的ホワイトガウスノイズ中に観測される連続時間のマーキョフ跳躍過程における最適ベイズフィルタリング方程式を導出する。補助過程 $\psi_j(t)$ を導入することで、$\psi_j(t)$ に対する簡略化された確率微分方程式が得られ、正規化によって条件付き状態確率 $p_j(t)$ に変換され、ジャンプ・ドリフト系における状態推定のための取り扱いやすいフィルタが得られる。

ABSTRACT

This note is based on Wonham \cite{Wonham}. The differences between this note and [Wonham] are discussed in Section VIII.

研究の動機と目的

• 有限状態の連続時間マーキョフ跳躍過程が加法的ホワイトガウスノイズによって汚染される場合の最適フィルタを導出すること。
• 信号過程が観測経路において不連続的かつ非マルコフ的である場合のフィルタリングの課題に対処すること。
• ウォンハムの元来の手法を簡素化するため、補助過程 $\\psi_j(t)$ を用いたフィルタリング方程式の体系的導出を提供すること。
• サンプリングおよび数値近似スキームの分析を通じて、フィルタの物理的実装を可能にすること。
• 主な取り扱いでは定数 $\beta$ を仮定するが、時間変動するノイズ強度 $\beta(t)$ への拡張を試みること。

提案手法

• 未規格化条件付き確率 $\mathbb{P}(x(t) = a_j \mid y(\cdot))$ に規格化定数を乗じたものとして定義される補助過程 $\psi_j(t)$ を導入する。
• 分割数 $n$ の $n$-ステップ分割に基づく離散時間近似の経路的極限を用いて、$\psi_j(t)$ に対する確率微分方程式（SDE）を導出する。
• マルティンゲール収束定理および劣化収束定理を適用し、離散時間フィルタリング再帰のほとんど確実な極限を正当化する。
• $\psi_j(t)$ を $p_j(t) = \psi_j(t)/\sum_i \psi_i(t)$ により正規化することで、最適フィルタが得られる。
• 伊藤積分とギルサノフの定理を用いて、尤度比を $\widetilde{x}(s)$ および $dy(s)$ を含む確率積分の形で表現する。
• $\theta_j(t) = \log \psi_j(t)$ に対する等価なSDEを導出し、ジャンプ遷移率と観測駆動型ドリフトを有する非線形SDEが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測が加法的ホワイトノイズによって汚染される場合、マーキョフ跳躍過程の最適フィルタはどのように導出可能か？
• RQ2 未規格化後確率密度 $\psi_j(t)$ の構造は何か？ そして、その構造がフィルタリング問題をどのように簡素化するか？
• RQ3 アナログまたはデジタルシステムを用いた物理的実装は可能か？ その場合に適した数値スキームは何か？
• RQ4 ノイズ強度 $\beta(t)$ が時間変動する場合、フィルタリング方程式はどのように振る舞うか？ また、定数 $\beta$ の場合の近似は妥当か？
• RQ5 補助過程 $\psi_j(t)$ が最適フィルタの取り扱いやすい導出を可能にする役割は何か？

主な発見

• 最適フィルタは $p_j(t) = \psi_j(t)/\sum_i \psi_i(t)$ で与えられ、$\psi_j(t)$ は観測過程によって駆動される線形SDEを満たす。
• 未規格化の $\psi_j(t)$ は、SDE $\frac{d\psi_j}{dt} = A\psi_j + \text{対角項} \cdot \frac{x(t)+n(t)}{\beta^2}\psi_j$ を満たし、元の $p_j(t)$ 方程式よりも単純である。
• 対数変換 $\theta_j(t) = \log \psi_j(t)$ により、伊藤SDE $\frac{d\theta_j}{dt} = -\nu_j + \frac{a_j^2}{2\beta^2} + \sum_{i \neq j} \nu_{ij} e^{\theta_i - \theta_j} + \frac{a_j}{\beta^2}(x(t) + n(t))$ が得られ、これはマルコフ的であり、シミュレーションに適している。
• 将来の状態の予測は $\mathbb{P}(x(t+h) = a_j \mid \mathcal{F}_t^y) = \sum_i p_i(t) p_{ij}(h)$ で与えられ、マルコフ遷移ダイナミクスと整合的である。
• アナログフィルタまたはデジタルコンピュータを用いた物理的実装が可能であり、サンプリング周波数とノイズ帯域幅の関係に応じて異なる数値スキームが必要となる。
• 時間変動する $\beta(t)$ に対しても結果は拡張可能であるが、定数 $\beta$ の場合の導出がより単純であり、離散近似は劣化収束のもとでほとんど確実に収束する。