[論文レビュー] The Orbifold Chow Ring of Hypertoric Deligne-Mumford Stacks

Yunfeng Jiang, Hsian‐Hua Tseng|ArXiv.org|Dec 9, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、超トーリックデリーニュ＝ムーディー・スタックをスタック付き超平面配置を用いて定義し、多ファン構造への一般化としてスタニーリー＝ライスナー環を拡張したオルビフォールド・チャウ環を計算する。主な貢献は、多ファン構造における分数部分および上限関数を用いたオルビフォールド・チャウ環の組合せ的公式であり、特に対称的解消およびオルビフォールド・グロモフ＝ウィトテン理論への応用を含む。

ABSTRACT

Hypertoric varieties are determined by hyperplane arrangements. In this paper, we use stacky hyperplane arrangements to define the notion of hypertoric Deligne-Mumford stacks. Their orbifold Chow rings are computed. As an application, some examples related to crepant resolutions are discussed.

研究の動機と目的

• 超平面配置とガル・双対性から導かれるスタック付き超平面配置を用いて、超トーリックデリーニュ＝ムーディー・スタックを定義すること。
• 多ファンと分数部分を用いて、超トーリック多様体のオルビフォールド・チャウ環をスタック的設定に一般化すること。
• 超キーラー幾何におけるオルビフォールド・チャウ環とクリープアント解消の関係を調査すること。
• スタック付き超平面配置にラベルを追加することで、滑らかな超トーリック多様体またはクリープアント解消が得られるかどうかを検討すること。
• 超トーリック幾何におけるオルビフォールドコホモロジーおよびグロモフ＝ウィトテン不変量を研究するための組合せ的枠組みを提供すること。

提案手法

• 有限な余核を持つホモモルフィズム $\beta: \mathbb{Z}^m \to N$ と、ガル双対 $DG(\beta)$ 内の一般的要素 $\theta$ を用いて、スタック付き超平面配置 $\mathcal{A} = (N, \beta, \theta)$ を定義する。
• Lawrence のリフト $\beta_L$ を $\beta$ に対して定義し、$\overline{N}_L$ 内の単体的ファン $\Sigma_\theta$ を用いて Lawrence トーリック DM スタック $\mathcal{X}(\mathbf{\Sigma_\theta})$ を構成する。
• 商構成を用いて、Lawrence トーリック DM スタック内の閉部分スタックとして超トーリック DM スタック $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ を定義する。
• $\beta$ の像を torsion で割ったものから得られる多ファン $\Delta_{\mathbf{\beta}}$ を定義し、$\{\overline{b}_1, \dots, \overline{b}_m\}$ の線形独立な部分集合に対応するコーンを含む。
• $v \in N$, $\sigma$ をコーンとし、$\overline{v} = \sum \alpha_i \overline{b}_i$ となるようなペア $(v, \sigma)$ の集合 $Box(\Delta_{\mathbf{\beta}})$ を定義する。これはねじれのセクターをパrametrizeする。
• $\mathbb{Q}[\Delta_{\mathbf{\beta}}] = \bigoplus_{(c,\sigma) \in N^{\Delta_{\mathbf{\beta}}}} \mathbb{Q} \cdot y^{(c,\sigma)}$ として、階数付き環としてのオルビフォールド・チャウ環を構成する。乗法は上限関数と $\epsilon$-関数を用いて、コーン間の整合性を保つように定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタック付き超平面配置から、超トーリックデリーニュ＝ムーディー・スタックを体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 超トーリックDMスタックのオルビフォールド・チャウ環の構造は何か？ また、その構造はマトロイドのスタニーリー＝ライスナー環をどのように一般化するか？
• RQ3 多ファンと分数部分を用いて、オルビフォールド・チャウ環を組合せ的に記述できるか？
• RQ4 スタック付き超平面配置にラベルを追加することで、ハイパーキーラー設定においてクリープアント解消が得られるか？
• RQ5 超トーリックオルビフォールドのためのハイパーキーラー解消の組合せ的記述はあるか？

主な発見

• 超トーリックDMスタック $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ のオルビフォールド・チャウ環は、$c \in N$, $\sigma$ を多ファン $\Delta_{\mathbf{\beta}}$ のコーンとし、$\overline{c} = \sum a_i \overline{b}_i$ で $a_i > 0$ の有理数であるようなペア $(c,\sigma)$ から構成される graded ring $\mathbb{Q}[\Delta_{\mathbf{\beta}}]$ に同型である。
• $\mathbb{Q}[\Delta_{\mathbf{\beta}}]$ の階数は、$\deg(y^{(c,\sigma)}) = |\tau| + \sum m_i$ で定義され、ここで $\tau$ は $c$ の分数部分に対応するコーンであり、$c = v + \sum m_i b_i$ の分解における整数 $m_i$ である。
• 乗法則は上限関数 $\lceil c \rceil_\sigma = \sum_{\rho_i \subseteq \tau} b_i + \sum_{\rho_i \subseteq \sigma} m_i b_i$ を用い、構造定数 $\epsilon(c_1, c_2)$ が交差するコーン間での整合性を保証する。
• $\mathcal{M}(\mathcal{A}) = T^*(\mathbb{P}(1,1,2))$ の例では、オルビフォールド・チャウ環は $\mathbb{Q}[x_3, x_4]/(x_4^2, x_3^3, x_3 x_4)$ であり、非自明なオルビフォールド構造を示している。
• $\beta'$ を用いてラベルを追加した場合、得られるスタック $\mathcal{M}(\mathcal{A}')$ のチャウ環は $\mathbb{Q}[x_3, x_4, v]/(x_3 x_4 + x_4^2, x_3^3, x_3^2 x_4, v^2, v x_3, v x_4)$ であり、$\mathcal{M}(\mathcal{A})$ のそれとは同型でないため、異なるオルビフォールド幾何を示している。
• チャウ環の同型でないこと、および拡張された行列 $\beta'$ が非ユニモジュラーであることから、$\mathcal{M}(\mathcal{A}')$ は滑らかではなく、クリープアント解消にもなり得ない。これは、一般にラベルの追加がハイパーキーラー解消をもたらさないことを示している。