[論文レビュー] The Order Barrier for Strong Approximation of Rough Volatility Models

Andreas Neuenkirch, Taras Shalaiko|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ H < 1/2 $ であるヘンスパラメータを有する粗いボラティリティモデルの強近似において、最適収束速度 $ n^{-H} $ を確立する。等間隔の離散化を用いた分数オーナイシュトゥルム・ウーレンバック過程およびブラウン運動の近似に対して、オイラー法と台形則がこの収束速度に達することを証明し、最小二乗誤差の鋭い下界を導出する。これは、粗いパス構造に起因する数値的困難さを強調する。

ABSTRACT

We study the strong approximation of a rough volatility model, in which the log-volatility is given by a fractional Ornstein-Uhlenbeck process with Hurst parameter $H&lt;1/2$. Our methods are based on an equidistant discretization of the volatility process and of the driving Brownian motions, respectively. For the root mean-square error at a single point the optimal rate of convergence that can be achieved by such methods is $n^{-H}$, where $n$ denotes the number of subintervals of the discretization. This rate is in particular obtained by the Euler method and an Euler-trapezoidal type scheme.

研究の動機と目的

• 分数ブラウン運動を駆動とする粗いボラティリティモデルの強近似における最適収束速度を特定すること。
• 特にオイラー法および台形則を用いた数値スキームの収束挙動を、離散化されたボラティリティおよびブラウン運動のパス上で分析すること。
• 観測された $ V, W, Y $ の離散的観察に基づき、ロジプライス過程 $ X_T $ の近似における最小二乗誤差の鋭い下界を確立すること。
• ボラティリティ過程のホルダー連続性が収束速度および誤差定数に与える影響を定量化すること。
• 収束速度 $ n^{-H} $ がボラティリティパスの粗さによって本質的に制限されることを示し、このようなモデルが数値的に困難である理由を明らかにすること。

提案手法

• 時間区間 $ [0,T] $ を $ n $ 個の等間隔の部分に分割し、$ \Delta = T/n $ とする。ボラティリティ過程 $ Y_t $ および駆動ブラウン運動 $ V_t, W_t $ をこの分割で離散化する。
• オイラー法を用いて、$ e^{Y_t} $ の区分定数近似および $ V, W $ の増分を用いて、ロジプライス過程 $ X_T $ を近似する。
• 隣接する時刻における $ e^{Y_t} $ の平均値を用いることで、確率積分の精度を向上させる台形型スキームを採用する。
• 分数オーナイシュトゥルム・ウーレンバック過程の共分散構造を分析することで、両スキームの平均二乗誤差の漸近的挙動を厳密に導出する。
• 条件付き期待値およびガウス過程の性質を用いて、最小可能な誤差の下界を確立する。
• 分数ブラウン運動のマンドルブロート–ヴァン・ネス表現および分数イトの等式を用いて、ボラティリティ過程の共分散を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘンスパラメータ $ H < 1/2 $ を有する粗いボラティリティモデルにおけるロジプライスの強近似の最適収束速度は何か？
• RQ2 オイラー法または台形則は最適収束速度 $ n^{-H} $ を達成できるか？
• RQ3 観測された $ V, W, Y $ の離散的観察に基づき、$ X_T $ の近似における最小二乗誤差の鋭い下界は何か？
• RQ4 ボラティリティ過程 $ e^{Y_t} $ のホルダー連続性は収束速度および誤差定数にどのように影響するか？
• RQ5 実証的妥当性は高いが、なぜ粗いボラティリティモデルの強近似は数値的に困難なのか？

主な発見

• ロジプライス $ X_T $ の強近似における最適収束速度は $ n^{-H} $ であり、これは $ V, W, Y $ の等間隔離散化のもとで達成可能な最良の速度である。
• オイラー法は最適速度に達し、$ \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{T}\right)^{2H} \mathbf{E}|X_T - X_n^\text{E}|^2 = \frac{1}{2H+1} T \theta^2 \mathbf{E}|e^{Y_0}|^2 $ を満たす。
• 台形則も収束速度 $ n^{-H} $ を達成し、漸近的誤差は $ \left(\frac{1}{2H+1} - \frac{1-\rho^2}{4}\right) T \theta^2 \mathbf{E}|e^{Y_0}|^2 $ である。
• 最小誤差の鋭い下界が確立された：$ \liminf_{n\to\infty} \left(\frac{n}{T}\right)^{2H} e(n)^2 \geq (1-\rho^2) \frac{1}{(2H+1)(2H+2)} T \theta^2 \mathbf{E}|e^{Y_0}|^2 $。
• 収束速度は、ボラティリティ過程 $ e^{Y_t} $ の $ H $-ホルダー連続性によって本質的に制限されており、これは平均二乗で $ |t-s|^{2H} $ のオーダーのパスを持つことに対応する。
• 誤差定数は $ \mathbf{E}|e^{Y_t} - e^{Y_s}|^2 $ のホルダー定数に明示的に依存しており、粗さが直接的に数値的困難さを決定することを確認する。