[論文レビュー] The outer spectral radius and dynamics of completely positive maps

J. E. Pascoe|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、行列の組に対する共同スペクトル半径の緩和として外スペクトル半径を導入し、完全正値写像および量子チャネルのダイナミクスと関連付ける。外スペクトル半径に対してゲルファンド型の公式を確立し、退化した量子ペロン＝フロベニウス定理を証明し、完全正値写像の反復平均が、元の演算子が生成する代数におけるイデアルを張るKraus演算子を持つ写像に収束することを示す。

ABSTRACT

We examine a special case of an approximation of the joint spectral radius given by Blondel and Nesterov, which we call the outer spectral radius. The outer spectral radius is given by the square root of the ordinary spectral radius of the $n^2$ by $n^2$ matrix $\sum{\overline{X_i}}\otimes{X_i}.$ We give an analogue of the spectral radius formula for the outer spectral radius which can be used to quickly obtain the error bounds in methods based on the work of Blondel and Nesterov. The outer spectral radius is used to analyze the iterates of a completely postive map, including the special case of quantum channels. The average of the iterates of a completely positive map approach to a completely positive map where the Kraus operators span an ideal in the algebra generated by the Kraus operators of the original completely positive map. We also give an elementary treatment of Popescu's theorems on similarity to row contractions in the matrix case, describe connections to the Parrilo-Jadbabaie relaxation, and give a detailed analysis of the maximal spectrum of a completely positive map.

研究の動機と目的

• 外スペクトル半径を用いた Blondel-Nesterov の共同スペクトル半径近似の統一的かつ拡張的取り扱いを図ること。
• 外スペクトル半径に対してゲルファンド型のスペクトル半径公式を提供し、近似法における誤差評価を可能にする。
• 特に量子チャネルを含む完全正値写像の長期的ダイナミクスを、関連行列 $ \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ のスペクトル性質を用いて分析すること。
• 行列の場合におけるポペスクのロータ＝ストラング理論（類似性による行収縮への変換）を初等的に取り扱うこと。
• 外スペクトル半径が Parrilo-Jadbabaie の緩和とどのように関連するかを明らかにし、$ \sum X_i^{\otimes 2k} $ のスペクトル構造を分析すること。

提案手法

• 外スペクトル半径を $ \hat{\rho}(X_1,\ldots,X_d) = \sqrt{ \rho\left( \sum \overline{X_i} \otimes X_i \right) } $ として定義し、Kronecker積行列のスペクトル半径と関連付ける。
• ゲルファンド型の公式を証明する：$ \hat{\rho} = \lim_{k\to\infty} \sup_{\sum |a_{i_1\cdots i_k}|^2=1} \left\| \sum a_{i_1\cdots i_k} X_{i_1} \cdots X_{i_k} \right\|^{1/k} $ により、動的解釈が可能になる。
• 収束性およびスペクトル構造の解析に役立つリャプノフ行列 $ L $ を構成し、$ L - \sum X_i L X_i^* \geq 0 $ を満たすようにする。
• $ \psi $-対合および部分トレースを用いて行列 $ T = \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ を分析し、その最大スペクトルに非負実数固有値が存在することを示す。
• 対称群の表現論を用いて $ \sum X_i^{\otimes 2k} $ の不変部分空間を研究し、それらを対称多項式と関連付ける。
• Parrilo-Jadbabaie の緩和 $ \rho_{SR,2d} $ を、次数 $ 2k $ の同次多項式上での $ \sum \tau_{X_i} $ の作用のスペクトル半径として再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外スペクトル半径は、特に量子チャネルを含む完全正値写像の反復ダイナミクスとどのように関連するか？
• RQ2 外スペクトル半径に対してゲルファンド型の公式を確立できるか。その近似法における誤差評価への影響は何か？
• RQ3 行列 $ \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ のスペクトル構造、特に最大スペクトルと退化度インデックスはどのようなものか？
• RQ4 外スペクトル半径は Parrilo-Jadbabaie の緩和および行列の対称代数とどのように関連するか？
• RQ5 リャプノフ行列は、完全正値写像の反復の収束性を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 外スペクトル半径はゲルファンド型の公式を満たす：$ \hat{\rho}(X_1,\ldots,X_d) = \lim_{k\to\infty} \sup_{\sum |a_{i_1\cdots i_k}|^2=1} \left\| \sum a_{i_1\cdots i_k} X_{i_1} \cdots X_{i_k} \right\|^{1/k} $ であり、動的解釈が可能になる。
• 行列 $ T = \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ の最大スペクトルには、非負実数固有値 $ \lambda $ が存在し、$ \lambda \geq |\lambda'| $ をすべての他の固有値 $ \lambda' $ に対して満たす。等号が成り立つのは、$ \lambda $ がより高いまたは同等の退化度インデックスを持つ場合に限る。
• 完全正値写像の反復の平均は、元のKraus演算子が生成する $ C^* $-代数におけるイデアルを張るKraus演算子を持つ写像に収束する。
• $ \hat{\rho} = 1 $ であり、$ X_i $ が $ M_n(\mathbb{C}) $ を生成する場合、$ V^{1/2} $ および $ W^{1/2} $ を用いた変換により、写像をユニタリまたはトレース保存型に変換できる。
• 共同スペクトル半径のスペクトル半径は $ \rho(X_1,\ldots,X_d) = \lim_{k\to\infty} \rho\left( \sum \tau_{X_i} \big|_{\mathbb{R}[e_1,\ldots,e_n]_{2k}} \right)^{1/2k} $ として回復可能であり、多項式作用と関連付けることができる。
• 行列 $ \sum X_i^{\otimes 2k} $ の最大固有値に対応する固有空間は置換に対して不変であり、非退化の場合には1次元であり、対称ベクトルによって張られる。