[論文レビュー] The $\overline{\partial}$-equation on variable strictly pseudoconvex domains

Xianghong Gong, Kang‐Tae Kim|arXiv (Cornell University)|May 26, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\bar\partial$-方程式の解について、$t \in [0,1]$ でパラメータ化された可変な厳密に擬凸領域族上での内部および境界における正則性を確立する。空間変数およびパrameter変数におけるホルダー型およびソボレフ型正則性を用いて、解 $u^t$ の改善された正則性、すなわち強擬凸領域では $C^{k+3/2,j}$、擬凸関数を有する領域では $C^{k+1+\beta,j}$ を示し、古典的な $\bar\partial$-理論をパラメータ依存設定に拡張する。

ABSTRACT

We investigate regularity properties of the $\overline{\partial}$-equation on domains in a complex euclidean space that depend on a parameter. Both the interior regularity and the regularity in the parameter are obtained for a continuous family of pseudoconvex domains. The boundary regularity and the regularity in the parameter are also obtained for smoothly bounded strongly pseudoconvex domains.

研究の動機と目的

• パラメータ $t \in [0,1]$ に連続的に依存する領域族上での $\bar\partial$-方程式の解の正則性を確立すること。
• 古典的な $\bar\partial$-正則性理論を可変領域に拡張し、パラメータ依存ホルダー空間における内部および境界正則性を含めること。
• 領域族の幾何学的・解析的条件のもとで、$x$ 変数および $t$ 変数の両方において正則性を有する解 $u^t$ が存在することを証明すること。
• パラメータ化された領域の文脈において、コーシュの問題を扱い、適切な正則性仮定の下で $C^{k+1/2,j}$ および $C^{k+\beta,j}$ 解の存在を示すこと。
• 擬凸関数を有する領域を用いて、非コンパクト領域および境界が粗い領域への $\bar\partial$-解の理論を一般化すること。

提案手法

• 空間変数およびパrameter変数の両方における正則性を含む、全空間 $\bar{\mathcal D} = \bigcup_{t\in[0,1]} D^t \times \{t\}$ 上の関数および微分形式のホルダー空間 $C^{\rho,j}(\bar{\mathcal D})$ を定義する。
• 一様擬凸エクhaustion関数の族の概念を導入する。
• 分割関数 $\
• パラメータ依存設定において $\bar\partial$-ノイマン理論および $L^2$-手法を適用し、領域 $D^t$ の $C^{k+1,j}$ 境界正則性を活用する。
• 局所的トリビアライゼーション上で $\bar\partial$-方程式を解き、パラメータ依存設定におけるコーシュ問題の技法を用いて貼り合わせることで、解 $u^t$ の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域 $D^t$ がパラメータ $t \in [0,1]$ に滑らかに依存するとき、$\bar\partial$-方程式の解の正則性は保持されるか？
• RQ2 境界が $C^{k+2,j}$ の滑らかな有界強擬凸領域族に対して、$\bar\partial u^t = f^t$ の解 $u^t$ が $x$ および $t$ 変数の両方でどの正則性クラスに達することができるか？
• RQ3 領域族に一様擬凸エクhaustion関数の族が存在する場合、解の正則性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 パラメータ依存設定において、第一および第二コーシュ問題は、解が $C^{k+1/2,j}$ または $C^{k+\beta,j}$ 正則性を有するように解けるか？
• RQ5 データ $f^t$ および領域族 $D^t$ が $C^{k+\beta,j}$ 空間に属するとき、解 $u^t$ の正則性の向上はどのように定量的に得られるか？

主な発見

• 境界が $C^{k+2,j}$ の滑らかな有界強擬凸領域族に対して、$\bar\partial u^t = f^t$ の解 $u^t$ が存在し、正則性 $C^{k+3/2,j}$ を有する。
• 領域 $D^t$ が一様擬凸エクhaustion関数の族を有する場合、解 $u^t$ は $C^{k+1+\beta,j}$ 正則性を有する。
• 平面領域（$n=1$）では境界正則性が鋭くされる：$f^t \in C^{k+\beta,j}$ ならば、解 $u^t$ は $C^{k+\beta,j}$ に属し、正則性の向上が $k+3/2$ ではなく $k+\beta$ に改善される。
• 境界が $C^{k+1,j}$ のパラメータ依存領域上で、第一コーシュ問題は、移行関数が $C^{k+1/2,j}$ に属する場合、$C^{k+1/2,j}(\bar{\mathcal D})$ 内の解を有する。
• 境界が $C^{k+1,j}$ でパラメータ化され、データが $C^{k+1/2,j}$ に属する場合、第二コーシュ問題は $C^{k+1/2,j}$ で解ける。
• 擬凸エクhaustion関数を用いることで、非コンパクト領域への結果が拡張され、境界が粗い場合や滑らかでない場合（例：中心および半径が $t$ に依存する拡大球）にも適用可能である。