[論文レビュー] The p-AAA algorithm for data driven modeling of parametric dynamical systems

Andrea Carracedo Rodriguez, Linus Balicki+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2020

Model Reduction and Neural Networks被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、関数評価のみを用いて多次元パrametricな動的システムの有理関数近似を実行するデータ駆動型手法であるp-AAAアルゴリズムを提案する。この手法は、単一変数用に開発されたAAAアルゴリズムを多次元パラメータにおけるバーチカル有理形式へ拡張したものであり、全状態空間モデルが入手不可な状況下でも、スカラーおよび行列値伝達関数の高精度な低次元モデル化を可能にする。特に、偏微分方程式や動的システムにおけるパrametricなPDEにおいても、最悪ケースのシナリオにおいても高い精度が実証されている。

ABSTRACT

The AAA algorithm has become a popular tool for data-driven rational approximation of single variable functions, such as transfer functions of a linear dynamical system. In the setting of parametric dynamical systems appearing in many prominent applications, the underlying (transfer) function to be modeled is a multivariate function. With this in mind, we develop the AAA framework for approximating multivariate functions where the approximant is constructed in the multivariate barycentric form. The method is data-driven, in the sense that it does not require access to full state-space model and requires only function evaluations. We discuss an extension to the case of matrix-valued functions, i.e., multi-input/multi-output dynamical systems, and provide a connection to the tangential interpolation theory. Several numerical examples illustrate the effectiveness of the proposed approach.

研究の動機と目的

• 内部状態空間モデルが入手不可な状況下で、入力/出力測定値（伝達関数のサンプル）のみが利用可能なパラメトリックな動的システムの近似フレームワークを構築すること。
• 元々単一変数用に開発されたAAAアルゴリズムを、複数のパラメータにおけるバーチカル有理形式を用いて多次元関数へ拡張すること。
• サンプルデータへの補間および最小二乗フィッティングを用いて、スカラーおよび行列値伝達関数（例：MIMOシステム）の低次元モデル化を可能にすること。
• 特に特異性に近い領域や複雑なパラメトリック依存関係を示す問題においても、最悪のパrameter設定下での精度を保証すること。
• 行列値近似における接線的補間理論との接続を提供し、従来のシステム理論に基づく理論的基盤を構築すること。

提案手法

• 本手法は、特定のパラメータ点における関数評価のみを用いて、多次元有理近似式をバーチカル形式で構築し、全モデル再構築を回避する。
• パラメトリック領域全体にわたる最小二乗誤差を最小化するように、反復的に補間点を追加するグリーディ選択戦略を採用する。
• 行列値システム（MIMO）の場合、効率的な伝達関数サンプリングのため、ランダムまたは構造的ベクトルを用いた接線的補間を用いる。
• 適応的に誤差最小化により各パラメータにおける次数を決定することで、適切なおよび厳密に適切な有理形式の両方をサポートする。
• 時間領域の動的システムおよび定常PDEに対して、解をパラメータの多次元関数とみなすことにより適用する。
• 全パラメトリックドメインにおけるロバストネスを検証するため、パラメータスイープを用いて最悪ケース性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部状態空間モデルが入手不可な状況下でも、AAAアルゴリズムをパラメトリックな動的システムの多次元有理関数近似に効果的に拡張できるか？
• RQ2 特に高次元または悪条件なパラメータ領域においても、サンプルデータのみを用いたp-AAA法による伝達関数の近似精度はどの程度か？
• RQ3 本手法は行列値（MIMO）システムにおいてどの程度の性能を示すか？また、従来の射影ベースのモデル次元削減手法と比較してどうか？
• RQ4 非アフィンなパラメトリック依存関係や、パラメータ領域内での近似特異性のような複雑なパラメトリック挙動を処理できるか？
• RQ5 全パラメータドメインにわたる最悪ケースの近似誤差はどのように振る舞うか？また、挑戦的なシナリオにおいても精度を維持できるか？

主な発見

• p-AAAアルゴリズムは、内部システム行列の必要なしに、関数評価のみを用いてパラメトリック伝達関数の高精度な近似を達成する。
• 2401出力を持つ2次元PDEに対して、MIMO p-AAA近似は、$p=1.7545$、$z=2$で最悪ケース誤差$3.11 \times 10^{-2}$を達成し、ロバストネスを示した。
• 近似特異性を示すより挑戦的なPDEにおいては、最悪ケース誤差が$7.28 \times 10^{-2}$にのぼり、複雑な挙動を捉えるために高い次数（$q=5$、$o=6$）が選択された。
• ブラックボックスサンプリングにより、非アフィンなパラメトリック依存関係を示すパラメトリックPDEの全ドメイン解を効果的に捉えた。
• バーチカル有理形式により、高パラメトリック感度領域や近似特異性領域でも安定かつ高精度な補間が可能になった。
• 接線的補間理論との接続により、行列値ケースにおける理論的基盤が提供され、従来のモデル次元削減原理と整合性が保たれた。