[論文レビュー] The $p$- and $hp$-versions of the virtual element method for elliptic eigenvalue problems

Certik, O., Francesca Gardini+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 48被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、多角形メッシュ上での変動する拡散係数およびポテンシャル項を有する楕円型固有値問題に対する、$p$-および $hp$-バージョンの仮想単位法（VEM）を開発し、分析している。$p$-バージョンでは解析的固有関数に対して指数的収束を証明し、有限正則性を有する解に対しては $hp$-豊かさにおいて自由度の立方根の指数的収束を示しており、チェス盤型拡散係数を含む挑戦的な問題において広範な数値実験によって検証されている。

ABSTRACT

We discuss the $p$- and the $hp$-versions of the virtual element method for the approximation of eigenpairs of elliptic operators with a potential term on polygonal meshes. An application of this model is provided by the Schrödinger equation with a pseudo-potential term. We present in details the analysis of the p-version of the method, proving exponential convergence in the case of analytic eigenfunctions. The theoretical results are supplied with a wide set of experiments. We also show numerically that, in the case of eigenfunctions with finite Sobolev regularity, an exponential approximation of the eigenvalues in terms of the cubic root of the number of degrees of freedom can be obtained by employing $hp$-refinements. Importantly, the geometric flexibility of polygonal meshes is exploited in the construction of the $hp$-spaces.

研究の動機と目的

• 変動する拡散係数およびポテンシャル項を有する楕円型固有値問題に対する $p$-および $hp$-バージョンの仮想単位法を拡張すること。
• $p$-バージョンのVEMの分析に焦点を当て、特に強化された仮想単位空間における $p$-最良近似推定と安定化項の取り扱いを検討すること。
• 解析的固有関数に対して $p$-バージョンが指数的収束を達成すること、および有限ソボレフ正則性を有する解に対して $hp$-バージョンが指数的収束を示すことの証明。
• 特異性や不連続係数を有する問題、特にチェス盤型拡散テンソルを含む問題において、理論的結果を数値実験で検証すること。
• 多角形メッシュの幾何的柔軟性を活用し、固有値問題における $hp$-豊かさ戦略を効果的に実装すること。

提案手法

• $p$-バージョンのVEMはメッシュを固定したまま局所多項式次数 $p$ を増加させ、局所PDEによって定義される暗黙の高次関数を含む強化された仮想単位空間を用いる。
• 安定化項は多項式空間への射影および安定性と計算可能性を保証する双線形形式を介して構築され、仮想形状関数の暗黙的性質にもかかわらず有効である。
• 解析は、強化された仮想単位空間における $p$-最良近似推定に基づき、安定化項の取り扱いに細心の注意を払い、最適収束率を維持する。
• $hp$-バージョンでは、局所的メッシュの細分化を適用し、特に正則性が低い領域に集中させながら、局所的多項式次数を増加させる。多角形要素の柔軟性を活かす。
• 数値実験では、内部モーメントに対応する $L^2$-正規直交多項式基底を用い、均一メッシュおよびグレーデッドメッシュ上での $h$-、$p$-、$hp$-豊かさを比較する。
• 誤差は離散固有値と基準固有値との相対差として測定され、自由度の立方根の観点から収束性が分析される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変動する拡散係数およびポテンシャル項を有する固有値問題に対して、仮想単位法の $p$-バージョンは指数的収束を達成できるか？
• RQ2 強化された仮想単位空間における $p$-最良近似推定はどのように振る舞い、安定化項は収束解析においてどのような役割を果たすか？
• RQ3 有限ソボレフ正則性を有する固有値問題に対して、$hp$-バージョンのVEMは自由度の立方根の指数的収束を示すか？
• RQ4 不連続または急激に変化する係数（例：チェス盤型拡散テンソル）を有する問題に対して、この手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 多角形メッシュは、固有値問題における $hp$-豊かさ戦略を効果的にサポートできるか？また、標準的な $h$-豊かさと比べてどのように差が現れるか？

主な発見

• $p$-バージョンのVEMは、解析的固有関数に対して多項式次数 $p$ の指数的収束を達成しており、厳密な $p$-最良近似推定と安定化解析によって証明された。
• 有限ソボレフ正則性を有する解に対しては、$hp$-バージョンのVEMが自由度の立方根の指数的収束を示しており、理論的期待と整合的である。
• 数値実験により、均一メッシュおよびグレーデッドメッシュ上でも $hp$-バージョンの指数的収束が確認された。特に不連続なチェス盤型拡散係数を有する問題に対しても同様の結果が得られた。
• チェス盤モデルの $ u$-パrameterが極端な値（例：$ u = 10^8$）であっても、この手法は係数の変動に対して感度が低く、安定性を保った。
• 第2および第3固有値の収束が劣化するのは、先行研究による基準固有値の不正確さに起因するものであり、手法自体の欠陥によるものではない。
• 多角形メッシュの幾何的柔軟性により、特に正則性が低い領域に自由度を集中させた効果的な $hp$-豊かさが可能となり、収束速度が向上した。