[論文レビュー] The $p$-parity conjecture for elliptic curves with a $p$-isogeny

Kęstutis Česnavičius|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、数体上の楕円曲線が $p$-自己準同型を持つ場合の $p$-正味性予想を証明し、$p > 3$ に対して、以前の半安定還元の制限を除去することで、すべての $p$ についてこの予想を完成させた。証明は、非半安定還元の場合の局所的根数に関する予想の公式を確立することに依拠し、複素乗法を持つ楕円曲線に対しても適用可能であり、$p$-主部シャファレヴィッチ・タイト群が無限大であるならば、それが $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ を2重の直和成分として含むべきであることを示している。

ABSTRACT

For an elliptic curve $E$ over a number field $K$, one consequence of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture is the parity conjecture: the global root number matches the parity of the Mordell-Weil rank. Assuming finiteness of $\\mathrm{Sha}(E/K)[p^\\infty]$ for a prime $p$ this is equivalent to the $p$-parity conjecture: the global root number matches the parity of the $\\mathbb{Z}_p$-corank of the $p^\\infty$-Selmer group. We complete the proof of the $p$-parity conjecture for elliptic curves that have a $p$-isogeny for $p > 3$ (the cases $p \\le 3$ were known). T. and V. Dokchitser have showed this in the case when $E$ has semistable reduction at all places above $p$ by establishing respective cases of a conjectural formula for the local root number. We remove the restrictions on reduction types by proving their formula in the remaining cases. We apply our result to show that the $p$-parity conjecture holds for every $E$ with complex multiplication defined over $K$. Consequently, if for such an elliptic curve $\\mathrm{Sha}(E/K)[p^\\infty]$ is infinite, it must contain $(\\mathbb{Q}_p/\\mathbb{Z}_p)^2$.

研究の動機と目的

• 数体上の楕円曲線が $p$-自己準同型を持つ場合の $p$-正味性予想を完成させ、$p$ を法とする素点での半安定還元の前提を撤廃すること。
• 非半安定還元の場合の局所的根数に関する予想の公式を確立し、ドコチツァーとドコチツァーの結果を一般化すること。
• 数体 $K$ 上に定義されたすべての複素乗法を持つ楕円曲線について、$p$ にかかわらず $p$-正味性予想が成り立つことを示すこと。
• このような曲線について $\Sha(E/K)[p^\infty]$ が無限大であるならば、$\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ を少なくとも2重の直和成分として含むべきであることを導出すること。

提案手法

• ガロア表現と局所クラス場理論を用いて、非半安定還元の場合の局所的根数に関する予想の公式を証明する。
• この公式を応用して、$p$-自己準同型を持つすべてのケースに $p$-正味性予想を拡張し、グローバル根数が $p^\infty$-セレマー群の $\mathbb{Z}_p$-ランクと一致することを確認する。
• $p$-正味性予想が奇数次ガロア拡大に関して不変であるという事実を用い、問題を、このような拡大で $p$-自己準同型を得る曲線に還元する。
• ヘッケ指標と複素乗法の理論を適用し、$K$ 上のCM楕円曲線に対してグローバル根数が $1$ であることを示す。
• $p$-セレマーランクと根数の両方が自己準同型に関して不変であるという事実を活用し、曲線が最大の $\mathcal{O}_F$-作用を持つ場合に還元する。
• 虚二次体 $F$ が $p$-進テートモジュールに作用する仕組みを分析し、$p^\infty$-セレマー群の $\mathbb{Z}_p$-ランクを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上の楕円曲線が $p$-自己準同型を持つ場合、$p$-進場での還元が半安定でないとき、$p$-正味性予想は成り立つか？
• RQ2 非半安定還元の場合の局所的根数に関する予想の公式を証明することで、$p$-正味性予想を確立できるか？
• RQ3 数体 $K$ 上に定義されたすべての複素乗法を持つ楕円曲線について、$p$-正味性予想はすべての素数 $p$ に対して成り立つか？
• RQ4 $K$ 上のCM楕円曲線について、$\Sha(E/K)[p^\infty]$ が無限大であるならば、その構造はいかなるものか？

主な発見

• すべての素数 $p > 3$ に対して、数体 $K$ 上の楕円曲線が $p$-自己準同型を持つ場合、$p$ を法とする素点での半安定還元の要件なしに、$p$-正味性予想が証明された。
• 非半安定還元の場合の局所的根数に関する予想の公式が確立され、$p > 3$ についてドコチツァーとドコチツァーの研究が完全に完成した。
• 数体 $K$ 上に定義されたすべての複素乗法を持つ楕円曲線について、$p$-正味性予想はすべての素数 $p$ に対して成り立つ。これはグローバル根数が $1$ であり、$p$-分岐または非分岐の場合に $p$-セレマーランクが偶数であるためである。
• CM楕円曲線 $E$ について $\Sha(E/K)[p^\infty]$ が無限大であるならば、$\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ を少なくとも2重の直和成分として含むべきである。
• $p$-正味性予想は奇数次ガロア拡大に関して不変であるため、このような拡大で $p$-自己準同型を得る曲線に対しても成り立つ。
• $p$ がCM体で非分岐または分岐する場合、$p^\infty$-セレマー群の $\mathbb{Z}_p$-ランクは偶数であり、$p$ が分岐または非分岐する場合、根数と一致する。これは $p$-自己準同型の存在に起因する。