[論文レビュー] The $P^\prime$-operator, the $Q^\prime$-curvature, and the CR tractor calculus

Jeffrey S. Case, A. Rod Gover|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、擬アインシュタイン多様体上で $P^\prime$-作用素、$Q^\prime$-曲率、およびCR GJMS作用素を計算するためのCRトレイクター微分法のアルゴリズムを開発する。この研究では、このような多様体上で $Q^\prime$-曲率が定数であることを証明し、5次元における明示的な局所公式を導出し、Burns–Epstein不変量の不変性性質およびCR幾何における補助不変量の構造に関する新たな知見を明らかにする。

ABSTRACT

We establish an algorithm which computes formulae for the CR GJMS operators, the $P^\prime$-operator, and the $Q^\prime$-curvature in terms of CR tractors. When applied to torsion-free pseudo-Einstein contact forms, this algorithm both gives an explicit factorisation of the CR GJMS operators and the $P^\prime$-operator, and shows that the $Q^\prime$-curvature is constant, with the constant explicitly given in terms of the Webster scalar curvature. We also use our algorithm to derive local formulae for the $P^\prime$-operator and $Q^\prime$-curvature of a five-dimensional pseudo-Einstein manifold. Comparison with Marugame's formulation of the Burns--Epstein invariant as the integral of a pseudohermitian invariant yields new insights into the class of local pseudohermitian invariants for which the total integral is independent of the choice of pseudo-Einstein contact form.

研究の動機と目的

• CRトレイクター微分法を用いて、CR GJMS作用素、$P^\prime$-作用素、$Q^\prime$-曲率を体系的に計算するためのアルゴリズムを構築すること。
• 捩れのない擬アインシュタイン接触形式において、CR GJMS作用素および $P^\prime$-作用素の明示的因数分解を確立すること。
• 擬アインシュタイン多様体上で $Q^\prime$-曲率が定数であることを証明し、その定数をWebsterスカラー曲率の形で表現すること。
• 5次元における $P^\prime$-作用素および $Q^\prime$-曲率の局所公式を導出すること。
• 全 $Q^\prime$-曲率の不変性性質と、高次元におけるBurns–Epstein不変量との関係を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、微分作用素および曲率不変量をCR不変的で幾何的に自然な方法で表現するためのCRトレイクター微分法の枠組みを構築する。
• CRトレイクター bundle 及びその接続を用いて、接触形式の変更における $P^\prime$-作用素および $Q^\prime$-曲率の変換法則を導出する。
• このアルゴリズムは、Weylテンソル、Schoutenテンソル、および曲率の縮約を含むトレイクター表現を通じて $P^\prime$-作用素および $Q^\prime$-曲率を計算する。
• この方法は、$P_{2n+2}$ および $P^\prime(\Upsilon)$ を含む特定の変換法則を満たす、擬アインシュタイン接触形式に適用可能である。
• 5次元多様体では、一般のトレイクター表現を、擬アインシュタイン条件を用いてスカラー不変量に還元することで、明示的な局所公式を導出する。
• $Q^\prime$-曲率の共形スケーリングによる変化を分析し、$P_{2n+2}$ および $P^\prime$ の自己随伴性を用いて、その全積分の不変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬アインシュタイン多様体上で、CRトレイクターを用いて $P^\prime$-作用素および $Q^\prime$-曲率を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 擬アインシュタイン接触形式の変更における $Q^\prime$-曲率の正確な変換法則は何か？ また、$P^\prime$-作用素とどのように関係するか？
• RQ3 擬アインシュタイン多様体上で $Q^\prime$-曲率は定数であるか？ もしそうであれば、その定数はどのように決定されるか？
• RQ4 5次元において $P^\prime$-作用素および $Q^\prime$-曲率はどのように振る舞い、Burns–Epstein不変量と関係するか？
• RQ5 Hirachiが予想したように、$Q^\prime$-曲率は定数倍の $Q^\prime$、局所的CR不変量、および発散項に分解可能か？

主な発見

• 任意の擬アインシュタイン多様体上で $Q^\prime$-曲率は定数であり、その定数はWebsterスカラー曲率の形で明示的に与えられる。
• $P^\prime$-作用素およびCR GJMS作用素は、接触形式が捩れがなく擬アインシュタインである場合、CRトレイクターを用いた明示的因数分解を有する。
• 5次元において、$P^\prime$-作用素および $Q^\prime$-曲率は、Weylテンソル、Schoutenテンソル、および曲率の縮約を含む局所公式によって表現される。
• 全 $Q^\prime$-曲率は補助不変量である：接触形式の選択に依存しないが、CR不変量ではない。
• 5次元において、$Q^\prime$-曲率は一般にBurns–Epstein不変量と一致しないことから、3次元の場合とは本質的に異なる。
• $\mathcal{I}^\prime$ がCR不変1形式 $X_\gamma$ と関係していることが示され、その変換法則はCR正則関数上の形式的自己随伴性を示唆する。