[論文レビュー] The Palais-Smale condition for contact type energy levels for convex lagrangian systems

Gonzalo Contreras|ArXiv.org|Apr 17, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、2次トーラス以外のコンパクト多様体上の一様に強い凸性を持つラグランジュ系において、接触型エネルギー準位が自由時間作用関数に対するパライス・スメール条件を満たすことを確立する。これにより、ほとんどすべてのエネルギー準位における周期的軌道およびマニェの臨界値未満の共役点の存在を変分法を用いて示すことが可能となり、従来の手法が失敗する低エネルギー領域への拡張が可能になる。

ABSTRACT

We prove that for a uniformly convex Lagrangian system L on a compact manifold M, almost all energy levels contain a periodic orbit. We also prove that below Ma ne's critical value of the lift of the Lagrangian to the universal cover, almost all energy levels have conjugate points. We prove that if the energy level [E=k] is of contact type and M is not the 2-torus then the free time action functional of L+k satisfies the Palais-Smale condition.

研究の動機と目的

• 自由時間作用関数に対して、凸ラグランジュ系における接触型エネルギー準位でパライス・スメール条件を確立すること。
• 周期的軌道の存在を、低エネルギー領域を含むほとんどすべてのエネルギー準位へと拡張すること。
• 普遍被覆空間におけるマニェの臨界値未満のエネルギー準位における共役点を分析すること。
• 低エネルギーにおける非コンパクト性とパライス・スメール条件の欠如という変分的課題を解決すること。

提案手法

• H^1曲線のヒルベルト多様体上で、自由時間作用関数に対してモース理論とマウンテンパス幾何学を用いる。
• ストルウェの議論の適応を用いて、ほとんどすべてのエネルギー準位でパライス・スメール系列の存在を示す。
• エネルギー準位が接触型であり、配置空間 M が 2-トーラスでないという仮定の下で、パライス・スメール条件を確立する。
• ハミルトンベクトル場上での閉1次形式の作用が非ゼロであるという接触型エネルギー準位の特徴づけを利用する。
• 厳密な臨界値 c₀(L) とホーファー＝ツェンダー容量を用いて、低エネルギー力学を分析する。
• フローレンツァーとシュレンクの結果（非可 displacing 空間と有限容量）を応用し、e₀(L) 未満の周期的軌道の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由時間作用関数が、凸ラグランジュ系において、どのような条件下でパライス・スメール条件を満たすか？
• RQ2 2次トーラスでないコンパクト多様体上の一様に凸ラグランジュ系において、ほとんどすべてのエネルギー準位が周期的軌道を含むか？
• RQ3 普遍被覆空間におけるマニェの臨界値未満のエネルギー準位は、共役点を示すか？
• RQ4 コンパクトな接触型エネルギー準位はいつ成立し、これと不変測度の作用とはどのように関係するか？

主な発見

• コンパクト多様体 M ≠ 𝕋² 上の一様に凸ラグランジュ系に対して、すべての接触型エネルギー準位が自由時間作用関数に対してパライス・スメール条件を満たす。
• ほとんどすべてのエネルギー準位に周期的軌道が存在し、従来の結果が低エネルギー領域へと拡張される。
• 普遍被覆空間におけるマニェの臨界値 cᵤ(L) 未満のエネルギー準位では、ほとんどすべての準位に共役点が存在する。
• 接触型エネルギー準位は、すべての零漸近的サイクルを持つ不変確率測度 μ に対して A_{L+k}(μ) > 0 であるという性質によって特徴づけられる。
• 臨界値 c₀(L) は、すべての零漸近的サイクルを持つ測度 μ に対して A_{L+k}(μ) ≥ 0 となるような k の下界である。
• 磁場なしの凸ラグランジュ系で、閉1次形式 θₓ = Lᵥ(x,0) が成り立つ場合、すべてのエネルギー準位に閉軌道が存在し、正則な準位が接触型であるための必要十分条件は、すべての零漸近的サイクルを持つ測度 μ に対して A_{L+k}(μ) > 0 であることである。