[論文レビュー] The Papapetrou equations and supplementary conditions

O. B. Karpov|ArXiv.org|Jun 1, 2004

Relativity and Gravitational Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論におけるスピンを有する物体のPapapetrou方程式について、Pirani、Dixon、Corinaldesiなどの補足条件の違いが運動方程式に与える影響を比較分析する。後ニュートン近似においてスピン-軌道力が補足条件の選択に依存することを示し、ニュートンの第三法則は特定の条件（例：Corinaldesi条件）のもとでのみ満たされることを明らかにした。これにより、運動の相対性と理論における特定の仮定の物理的不整合性が浮き彫りになる。

ABSTRACT

On the bases of the Papapetrou equations with various supplementary conditions and other approaches a comparative analysis of the equations of motion of rotating bodies in general relativity is made. The motion of a body with vertical spin in a circular orbit is considered. An expression for the spin-orbit force in a post-Newtonian approximation is investigated.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論におけるスピンを有する物体のPapapetrou運動方程式に、さまざまな補足条件が与える影響を分析すること。
• 曲がった時空における世界線の定義（例：重心、静止系）の物理的整合性を調査すること。
• ニュートンの第三法則と運動の相対性が、さまざまな補足条件において一貫して満たされるかを評価すること。
• 4次元速度、動的4次元速度、スピンテンソルが、スピン物体の重心および運動を定義する上で果たす役割を明確にすること。
• 長年の論争であるPapapetrou方程式の物理的妥当性および特定の補足条件の適切さを解消すること。

提案手法

• リーマンテンソル $ R^{eta}{}_{etaetaeta} $ がスピンに結合するように、4次元運動量 $ P^eta $ とスピンテンソル $ S^{etaeta} $ を用いてPapapetrou方程式を導出する。
• 複数の補足条件を適用：Pirani（$ S^{etaeta} u_eta = 0 $）、Dixon（$ S^{etaeta} P_eta = 0 $）、Corinaldesi（$ S^{etaeta} au_eta = 0 $、$ \tau^\beta $ はキリングベクトル）。
• 後ニュートン近似を用いてスピン-軌道力を計算し、補足条件パラメータ $ \sigma $ に依存するかを分析する。
• 2体系における2つの物体に作用する力 $ \bm{F}_1 $ と $ \bm{F}_2 $ を比較し、ニュートンの第三法則は $ \sigma = 1 $（Corinaldesi）のときのみ成立することを示す。
• リーマンテンソルを電場成分 $ E $ と磁場成分 $ B $ に変換するための枠組みを導入し、ローレンツブーストにおけるそれらの変換則を導出する。
• 垂直スピンを有する物体が円軌道を回る運動を分析し、重心の速度が補足条件の選択に依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補足条件の選択が、Papapetrou方程式の後ニュートン近似におけるスピン-軌道力にどのように影響するか？
• RQ2 一般相対性理論の2体問題において、スピンを有する物体に対してニュートンの第三法則が満たされる条件は何か？
• RQ3 Pirani補足条件は広く用いられているが、なぜ物理的に問題視されるのか？
• RQ4 異なる重心の定義（例：内在的重心、静止系における重心）が、曲がった時空におけるスピン物体の運動にどのように影響するか？
• RQ5 異なる補足条件をPapapetrou方程式に適用した場合、運動の相対性はどの程度保たれるか？

主な発見

• 後ニュートン近似において、スピン-軌道力は補足条件パラメータ $ \sigma $ に明示的に依存し、Corinaldesi条件（$ \sigma = 1 $）が唯一、ニュートンの第三法則を満たす。
• ニュートンの第三法則は $ \sigma = 1 $ のとき、すなわちCorinaldesi補足条件のときのみ満たされる。$ \sigma = 0 $（Pirani）のとき、2つの物体に作用する力は $ \bm{F}_2 = -\bm{F}_1 $ を満たさない。
• 条件 $ P^\beta \propto u^\beta $ が満たされない場合、Papapetrou方程式は物理的に不整合を示し、重心の物理的に不適切な運動が生じる。
• スピンテンソルと運動量の関係 $ S^{\beta\beta} P_\beta = 0 $ で定義される内在的重心は、平坦時空でも静止系に対して相対的に運動するため、非自明な運動的構造を持つことが示唆される。
• リーマンテンソルの電場成分 $ E $ と磁場成分 $ B $ はローレンツブーストに対して非自明に変換され、線形速度近似において $ E'_{ij} = E_{ij} + 2v^l \epsilon_{lki} B^k_j $ および $ B'_{ij} = B_{ij} - 2v^l \epsilon_{lki} E^k_j $ が成り立つ。
• 有効力 $ m\dot{u}_1^i = F_1^i $ および $ \mathcal{M}\dot{u}_2^i = F_2^i $ で表した運動方程式は補足条件に依存しないが、力自体は $ \sigma $ に依存するため、物理的解釈は条件の選択に依存する。