[論文レビュー] The parabolic Monge-Ampère equation on compact almost Hermitian manifolds

Jianchun Chu|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンpactなほぼヘルミート多様体上の放物型モンジュ＝アンペール方程式の解の長時間存在および滑らかな収束を確立する。放物型フローのアプローチを用いて、正規化された解が$C^\infty$位相で、楕円型モンジュ＝アンペール方程式の滑らかな解に収束することを証明し、非ケーラー的で非可積分なほぼ複素構造における解の存在に対する放物型証明を提供する。

ABSTRACT

We prove the long time existence and uniqueness of solutions to the parabolic Monge-Ampère equation on compact almost Hermitian manifolds. We also show that the normalization of solution converges to a smooth function in $C^{\infty}$ topology as $t ightarrow\infty$. Up to scaling, the limit function is a solution of the Monge-Ampère equation. This gives a parabolic proof of existence of solutions to the Monge-Ampère equation on almost Hermitian manifolds.

研究の動機と目的

• コンpactなほぼヘルミート多様体上での放物型モンジュ＝アンペール方程式の解の長時間存在および一意性を確立すること。
• 時間$t \to \infty$のとき、正規化された解が滑らかに極限関数に収束することを証明すること。
• 非ケーラー的で非可積分なほぼ複素構造における楕円型モンジュ＝アンペール方程式の解の存在を、放物型フローのアプローチによって提供すること。
• 従来のケーラー的およびヘルミート的多様体に関する結果を、非可積分なほぼ複素構造を持つより広いクラスのほぼヘルミート多様体へ一般化すること。

提案手法

• 方程式$\frac{\partial\varphi}{\partial t} = \log\frac{(\omega + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\omega^n} - F$で定義される放物型フローを用い、潜在関数$\varphi$を進化させることでモンジュ＝アンペール方程式を解く。
• 最大原理および曲率の有界性を用いて、$\varphi$、$\partial_t\varphi$およびそれらのすべての順序の微分に対する事前推定を導出する。
• ほぼヘルミート多様体上での熱型方程式の正の解に対するハーナック不等式を確立し、[15]の結果を非可積分構造へ一般化する。
• 解の正規化として$\tilde{\varphi} = \varphi - \int_M \varphi \, \omega^n$を用いることで、$L^2$平均ゼロを保証し、収束解析を容易にする。
• 正規化された解およびその微分にアーベル・アスcoliの定理を適用し、$t \to \infty$における$C^\infty$収束を証明する。
• 最大原理を用いて、極限解の唯一性（定数のずれを除いて）を示し、ほぼヘルミート多様体上での既知の結果と整合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpactなほぼヘルミート多様体上での放物型モンジュ＝アンペール方程式は、すべての時間$t \in [0, \infty)$において、グローバルで滑らかな解をもつか？
• RQ2 放物型フローの正規化された解は、$t \to \infty$のとき滑らかに極限関数に収束するか？
• RQ3 正規化された放物型解の極限関数は、$F$の定数シフトを除いて、楕円型モンジュ＝アンペール方程式を満たすか？
• RQ4 非ケーラー的で非可積分なほぼ複素構造におけるモンジュ＝アンペール方程式の解の存在を、放物型フローのアプローチで証明できるか？

主な発見

• コンpactなほぼヘルミート多様体上での放物型モンジュ＝アンペール方程式は、すべての時間$t \in [0, \infty)$において、一意な滑らかな解をもつ。
• 正規化された解$\tilde{\varphi} = \varphi - \int_M \varphi \, \omega^n$は、$t \to \infty$のとき、$C^\infty$位相で極限関数$\tilde{\varphi}_\infty$に滑らかに収束する。
• 極限関数$\tilde{\varphi}_\infty$は、ある定数$b$を用いて$(\omega + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\tilde{\varphi}_\infty)^n = e^{F + b} \omega^n$を満たし、$F$の唯一の定数シフトを除いて、楕円型モンジュ＝アンペール方程式を満たす。
• $\partial_t\tilde{\varphi}$の収束が指数的であることが示され、$C, \eta > 0$を初期データおよび幾何的構造に依存する定数として、$\sup_M |\partial_t\tilde{\varphi}(x,t)| \leq C e^{-\eta t}$が成り立つ。
• ほぼヘルミート多様体上での熱型方程式の正の解に対するハーナック不等式が確立され、これは$\partial_t\varphi$の振動の指数的減衰を証明するために不可欠である。
• $\tilde{\varphi}$の$C^\infty$収束は、すべての微分に対する一様有界性とアーベル・アスcoliの定理を用いて証明され、滑らかな極限挙動が保証される。