[論文レビュー] The parallel sum for adjointable operators on Hilbert $C^*$-modules

Wei Luo, Chuanning Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト $C^*$-加群上の自己随伴作用素に対する平行和を導入し、研究する。これは、古典的な行列およびヒルベルト空間の定義を一般化するものである。平行和が可能な条件を行列と同様に特定し、ヒルベルト空間で有効な作用素因数分解による平行和の別解釈が、$C^*$-加群の設定では成り立たないことを、反例により示している。具体的には、$A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ が $ olinebreak cal{L}(H)$ 内に解をもたない例が提示されている。

ABSTRACT

The parallel sum for adjoinable operators on Hilbert $C^*$-modules is introduced and studied. Some results known for matrices and bounded linear operators on Hilbert spaces are generalized to the case of adjointable operators on Hilbert $C^*$-modules. It is shown that there exist a Hilbert $C^*$-module $H$ and two positive operators $A, B\in\mathcal{L}(H)$ such that the operator equation $A^{1/2}=(A+B)^{1/2}X, X\in \cal{L}(H)$ has no solution, where $\mathcal{L}(H)$ denotes the set of all adjointable operators on $H$.

研究の動機と目的

• 正方行列およびヒルベルト空間上の有界線形作用素に対する平行和の概念を、ヒルベルト $C^*$-加群上の自己随伴作用素へ拡張すること。
• 行列理論における範囲包含条件（例：範囲の包含）に類似した、正の自己随伴作用素の平行和が可能な条件を同定すること。
• ヒルベルト空間における平行和の因数分解 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ による解釈が、$C^*$-加群設定でも有効であるかどうかを検討すること。
• ヒルベルト空間の定義を支えるドーガスの定理に基づく因数分解手法が、ヒルベルト $C^*$-加群へ一般化されないことを示すこと。

提案手法

• ヒルベルト $C^*$-加群 $H$ 上の正の自己随伴作用素 $A$ と $B$ に対して、$A+B$ がムーア・ペネロープ逆行列をもつとき、平行和を $A:B = A(A+B)^\dagger B$ と定義する。
• 行列の条件を一般化し、平行和が可能な条件として $\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{R}(A+B)$ および $\mathcal{R}(A^*) \subseteq \mathcal{R}(A^*+B^*)$ を確立する。
• 左正則表現を用いて $\mathcal{L}(\mathfrak{A})$ を $C^*$-代数 $\mathfrak{A} = \mathbb{C}(E) \dotplus \mathbb{C}I$ と同一視し、具体的な反例の構成を可能にする。
• 特定のヒルベルト $C^*$-加群 $H = \mathfrak{A}$ と、可分ヒルベルト空間 $E$ 上のコンパクト作用素 $A_1, B_1$ を用いて $A = L_{A_1}, B = L_{B_1}$ を定義し、$A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ の可解性を検証する。
• 必要な解が存在すると仮定すると、カルキン代数に有限ランクの射影が現れることを示し、矛盾に至ることで $\mathcal{L}(H)$ 内に解が存在しないことを証明する。
• コンパクト作用素の性質と $\mathfrak{A}$ の構造を活用し、解 $C_1 = D_1 + \lambda I$ が $\lambda = 0$ または $\lambda = 1$ のみを満たすことを示し、両者とも無限次元の範囲をもつことから矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正方行列およびヒルベルト空間上の作用素に対する古典的平行和の定義を、ヒルベルト $C^*$-加群上の自己随伴作用素へ一般化できるか？
• RQ2 範囲包含条件 $\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{R}(A+B)$ および $\mathcal{R}(A^*) \subseteq \mathcal{R}(A^*+B^*)$ は、$C^*$-加群設定でも平行和の定義に十分かつ必要であるか？
• RQ3 ヒルベルト空間で有効な因数分解 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ を用いた平行和の解釈は、ヒルベルト $C^*$-加群上の正の自己随伴作用素に対しても成立するか？
• RQ4 ドーガスの定理に基づく $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ の解法が、$C^*$-加群の文脈に拡張可能か？（この設定では定理が成立しないことが示されている。）

主な発見

• 正の自己随伴作用素 $A, B$ がヒルベルト $C^*$-加群 $H$ 上に存在し、$A+B$ がムーア・ペネロープ逆行列をもつとき、平行和 $A:B = A(A+B)^\dagger B$ は適切に定義される。
• 範囲包含条件 $\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{R}(A+B)$ および $\mathcal{R}(A^*) \subseteq \mathcal{R}(A^*+B^*)$ は、$C^*$-加群設定へ一般化され、平行和の存在にとって必要かつ十分であることが示された。
• 反例として、$A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ が $\mathcal{L}(H)$ 内に解をもたない例が構成され、ヒルベルト空間における因数分解解釈がヒルベルト $C^*$-加群へは拡張されないことが証明された。
• 因数分解の失敗は、必要な解 $X$ がカルキン代数に無限ランクの射影を導くことから生じ、摂動項のコンパクト性と矛盾する。
• 証明は $C^*$-代数 $\mathfrak{A} = \mathbb{C}(E) \dotplus \mathbb{C}I$ の構造に依存しており、$E$ が可分ヒルベルト空間であることに注意する。無限ランク射影がスカラー作用素のコンパクト摂動として表現できないことの不可能性が根拠となる。
• 範囲の閉じていない性質および $C^*$-加群におけるドーガスの定理の不成立が、ヒルベルト空間の場合と比べて平行和の挙動を根本的に変えることが示された。