[論文レビュー] The Parameterized Complexity of Global Constraints

Christian Bessière, Emmanuel Hébrard+3 more|PolyPublie (École Polytechnique de Montréal)|Mar 3, 2009

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 30被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、制約プログラミングにおけるグローバル制約の tractability を分析するために、パラメータ化された複雑性理論を適用する。NValue、Disjoint、Roots などの制約が、異なる値の数やサイクルカットセットの数をパラメータとして用いることで固定パラメータ可 tractable（FPT）であることを示し、動的計画法やバックドア分解を用いた効率的な伝播が可能である一方で、NValue の近似一貫性は FPT = W[2] でない限り不条理であることを証明する。

ABSTRACT

We argue that parameterized complexity is a useful tool with which to study global constraints. In particular, we show that many global constraints which are intractable to propagate completely have natural parameters which make them fixed-parameter tractable and which are easy to compute. This tractability tends either to be the result of a simple dynamic program or of a decomposition which has a strong backdoor of bounded size. This strong backdoor is often a cycle cutset. We also show that parameterized complexity can be used to study other aspects of constraint programming like symmetry breaking. For instance, we prove that value symmetry is fixed-parameter tractable to break in the number of symmetries. Finally, we argue that parameterized complexity can be used to derive results about the approximability of constraint propagation.

研究の動機と目的

• NValue や AllDifferent のようなグローバル制約における不条理の原因を理解すること。
• 不条理なグローバル制約を固定パラメータ可 tractable（FPT）にする自然なパラメータを同定すること。
• 特に値の対称性を含む、パラメータ化された複雑性を用いた対称性の削減の利用を検討すること。
• パラメータ化された複雑性の結果を用いて、制約伝播の近似可能性の限界を導出すること。
• サイクルカットセットやバックドアなどの構造的パラメータに基づいた、新しい探索および伝播アルゴリズムの設計を支援すること。

提案手法

• 特定のパラメータ（例えば異なる値の数やサイクルカットセットのサイズ）に関して、グローバル制約の計算複雑性を分析するために、パラメータ化された複雑性理論を用いる。
• 異なる値の数が小さい場合に、NValue や Roots などの制約に対して動的計画法を適用し、固定パラメータ可 tractable を達成する。
• 特にサイクルカットセットを含む強力なバックドアを同定し、分解に基づく可 tractable なグローバル制約の解法を可能にする。
• インスタンスをより小さな同等の形式に縮小するための問題カーネルの概念を用いる。
• Bazgan の定理を活用し、NValue に対して効率的な PTAS が存在すれば FPT = W[2] が導かれるため、標準の複雑性仮定のもとで近似不可能性を証明する。
• W[1]-および W[2]-ハードネスの枠組みを用いて、制約伝播および対称性の削減の不条理性を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不条理なグローバル制約（例：NValue）を固定パラメータ可 tractable（FPT）にするパラメータは何か？
• RQ2 パラメータ化された複雑性を用いて、グローバル制約のための効率的な伝播アルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 値の対称性の削減は、対称性の数に関して固定パラメータ可 tractable か？
• RQ4 パラメータ化された複雑性を用いて、制約伝播の近似可能性の限界を確立できるか？
• RQ5 どのような構造的特徴（例：サイクルカットセット、バックドア）が、グローバル制約の可 tractable な分解を可能にするか？

主な発見

• NValue 制約は、N の最大ドメインサイズに関して W[2]-ハードであるため、完全なドメイン一貫性が FPT = W[2] でない限り不条理である。
• NValue、Disjoint、Roots 制約は、異なる値の数をパラメータとして用いることで固定パラメータ可 tractable（FPT）であり、効率的な動的計画法に基づく伝播が可能である。
• サイクルカットセットはしばしば強力なバックドアとして機能し、グローバル制約の分解に基づく可 tractable な解法を可能にする。
• 値の対称性の削減は、対称性の数に関して固定パラメータ可 tractable（FPT）であり、効率的な対称性削減が可能である。
• FPT = W[2] でない限り、NValue 制約に対して近似一貫性を強制する効率的な多項式時間近似スキーム（効率的 PTAS）は存在せず、根本的な近似不可能性を示している。
• パラメータ化された複雑性の活用により、パラメータの大きさに応じて部分的および完全な伝播の切り替えが可能なハイブリッド伝播器の設計フレームワークが得られる。