[論文レビュー] The parametric Frobenius problem and parametric exclusion

Bobby Shen|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、多項式列への一般化であるパラメトリック・フロベニウス問題が、パラメータ t に関して最終的準多項式関数（EQP）を生じることを確立している。パラメトリック除外問題の新しい枠組みとパラメトリック整数線形計画法を導入することで、m 回未満の表現を持つ整数の ℓ 番目に大きな数、およびそのような整数の個数の両方が、t に関して EQP 関数であることを証明し、固定された m および ℓ に対してルーネとウッズの予想を解決した。

ABSTRACT

The Frobenius number of relatively prime positive integers $a_1, \ldots, a_n$ is the largest integer that is not a nononegative integer combination of the $a_i.$ Given positive integers $a_1, \ldots, a_n$ with $n \ge 2,$ the set of multiples of $\gcd(a_1, \ldots, a_n)$ which have less than $m$ distinct representations as a nonnegative integer combination of the $a_i$ is bounded above, so we define $f_{m, \ell}(a_1, \ldots, a_n)$ to be the $\ell^{ ext{th}}$ largest multiple of $\gcd(a_1, \ldots, a_n)$ with less than $m$ distinct representations (which generalizes the Frobenius number) and $g_m(a_1, \ldots, a_n)$ to be the number of positive multiples of $\gcd(a_1, \ldots, a_n)$ with less than $m$ distinct representations. In the parametric Frobenius problem, the arguments are polynomials. Let $P_1, \ldots, P_n$ be integer valued polynomials of one variable which are eventually positive. We prove that $f_{m, \ell}(P_1(t), \ldots, P_n(t))$ and $g_m(P_1(t), \ldots, P_n(t)),$ as functions of $t,$ are eventually quasi-polynomial. A function $h$ is eventually quasi-polynomial if there exist $d$ and polynomials $R_0, \ldots, R_{d-1}$ such that for such that for sufficiently large integers $t,$ $h(t)=R_{t \pmod{d}}(t).$ We do so by formulating a type of parametric problem that generalizes the parametric Frobenius Problem, which we call a parametric exclusion problem. We prove that the $\ell^{ ext{th}}$ largest value of some polynomial objective function, with multiplicity, for a parametric exclusion problem and the size of its feasible set are eventually quasi-polynomial functions of $t.$

研究の動機と目的

• パラメータ t における多項式列への古典的フロベニウス問題の一般化。
• ルーネとウッズによるパラメトリック・フロベニウス数の最終的準多項式性に関する予想の解決。
• 表現数カウント問題を統一的かつ一般化する枠組み「パラメトリック除外問題」の開発。
• m 回未満の表現を持つ ℓ 番目に大きな整数およびその個数が、t に関して最終的準多項式関数であることを確立すること。

提案手法

• パラメトリック・フロベニウス問題の一般化として、パラメトリック除外問題を導入する。
• f_{m,ℓ}(P₁(t),…,Pₙ(t)) を、GCD(P₁(t),…,Pₙ(t)) の正の倍数で、非負整数表現が m 回未満であるようなものの中で ℓ 番目に大きな整数とする。
• g_m(P₁(t),…,Pₙ(t)) を、GCD(P₁(t),…,Pₙ(t)) の正の倍数で、m 回未満の表現を持つものの個数とする。
• パラメトリック整数線形計画法への分解を用いて、f_{m,ℓ}(P₁(t),…,Pₙ(t)) および g_m(P₁(t),…,Pₙ(t)) が t に関して最終的準多項式関数であることを証明する。
• パラメトリック整数計画問題の解集合の構造を用いて、関数が固定された周期 d における t の剰余に依存し、各成分が多項式 R₀,…,R_{d−1} で与えられることを示す。
• k が増加するにつれて表現数 h(k) が無限大に発散することを活用し、解析対象の集合の有限性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された m および ℓ に対して、∑b_i P_i(t) の非負整数表現が m 回未満であるような ℓ 番目に大きな整数は、t に関して最終的準多項式関数か？
• RQ2 m 回未満の表現を持つ正の整数の個数も、t に関して最終的準多項式関数か？
• RQ3 パラメトリック・フロベニウス問題は、解集合が構造的であるパラメトリック整数線形計画問題に体系的に還元可能か？
• RQ4 得られる最終的準多項式関数の成分と、生成多項式の背後にある代数的構造との関係は何か？
• RQ5 最終的準多項式挙動の周期に対する有効な上限や、成分を計算するアルゴリズム的手法はあるか？

主な発見

• P₁(t),…,Pₙ(t) の非負整数係数線形結合として m 回未満の表現を持つ ℓ 番目に大きな整数を与える関数 f_{m,ℓ}(P₁(t),…,Pₙ(t)) は、t に関して最終的準多項式関数である。
• GCD(P₁(t),…,Pₙ(t)) の正の倍数で、m 回未満の表現を持つものの個数を数える関数 g_m(P₁(t),…,Pₙ(t)) は、t に関して最終的準多項式関数である。
• この結果により、P_i(t) が正の先頭係数を持つ整数値多項式であるとき、F(P₁(t),…,Pₙ(t)) が最終的準多項式関数であるという、ルーネとウッズの予想が裏付けられた。
• 証明は、パラメトリック・フロベニウス問題をパラメトリック除外問題に変換し、その後パラメトリック整数線形計画法で分析することに依存している。
• 最終的準多項式の成分は、パラメトリックシステムの解集合の構造によって決定され、固定された d における周期的挙動を示す。
• この枠組みにより、m や ℓ が t の多項式に置き換えられても、得られる関数が必ずしも最終的準多項式関数ではないことが、反例によって示された。