[論文レビュー] The partial Ricci flow on one-dimensional foliations

Vladimir Rovenski, V. A. Sharafutdinov|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元のfoliationにおける部分リッチフローを導入し、部分リッチ曲率テンソルを用いて混合断面曲率を制御する幾何学的フローを提示する。局所的解の存在と一意性を確立し、曲率テンソルおよび共法線テンソルの放物型進化方程式を導出し、ワーパード積の初期データに対して、定数混合曲率を持つ計量への収束を証明する。これにより、正の混合曲率を持つfoliationに関するトポノゴフの予想を研究するための道具が得られる。

ABSTRACT

A flow of metrics, $g_t$, on a manifold is a solution of a differential equation $\dt g = S(g)$, where a geometric functional $S(g)$ is a symmetric $(0,2)$-tensor usually related to some kind of curvature. The mixed sectional curvature of a foliated manifold regulates the deviation of leaves along the leaf geodesics. We introduce and study the flow of metrics on a foliation (called the 'Partial Ricci Flow'), where $S=-2 r$ and $r$ is the partial Ricci curvature of the foliation; in other words, the velocity for a unit vector $X$ orthogonal to the leaf, $-2 r(X,X)$, is the mean value of sectional curvatures over all mixed planes containing $X$. The flow preserves totally geodesic foliations and is used to examine the question: Which foliations admit a metric with a given property of mixed sectional curvature (e.g., point-wise constant)? This is related to Toponogov question about dimension of totally geodesic foliations with positive mixed sectional curvature. We first consider a one-dimensional foliation, since this case is easier. We prove local existence/uniqueness theorem, deduce the government equations for the curvature and conullity tensors (which are parabolic along the leaves), and show convergence of solution metrics for some classes of almost-product structures. For the warped product initial metric the global solution metrics converge to one with constant mixed sectional curvature.

研究の動機と目的

• 正の混合断面曲率が、完全測地的foliationの次元に上限をもたらすかどうかという、トポノゴフの未解決予想に取り組むこと。
• 特に1次元foliationを対象として、混合曲率を制御するための幾何学的フロー（部分リッチフロー）を構築すること。
• フローの解の存在と一意性を証明し、特に定数混合曲率を持つ計量への収束を含む長期的挙動を分析すること。
• 特にフェルスの推定と位相的障害に関連して、foliated多様体上に所望の曲率性質を持つ計量の存在を研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• foliationの部分リッチ曲率rを用いて定義される幾何学的フロー∂tg = -2rを提案し、計量テンソルの進化を記述する。
• 葉に沿った曲率テンソルおよび共法線テンソルの放物型進化方程式を導出し、葉方向におけるフローの放物型性を示す。
• 変数分離法およびフーリエ級数を用いて、ワーパード積の初期計量におけるフローを分析し、偏微分方程式を常微分方程式系に簡略化する。
• エネルギー推定およびフーリエ係数の減衰評価を用いて、フローが定数混合断面曲率を持つ極限計量に収束することを証明する。
• 曲率テンソルの2階N微分を用いて、フロー下での曲率の進化方程式を導出する。
• 定常解との比較および線形化系の安定性を用いて長期挙動を分析し、グローバルアトラクターを有する場合と初期データに依存する場合を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分リッチフローを用いて、foliationが定数混合断面曲率を持つ計量をもつかどうかを特定できるか？
• RQ2 ワーパード積の計量から出発した場合、フローは定数混合曲率を持つ計量に収束するか？
• RQ3 部分リッチフローが完全測地的foliationを保存し、正または定数の混合曲率を持つ計量へ進化させる条件は何か？
• RQ4 特に定常解が存在しない場合に、フローの長期的挙動は初期データにどのように依存するか？
• RQ5 アダムズ数ρ(n)は、正の混合曲率を持つfoliationの存在を制限する役割を果たすが、フローはこのような位相的障害を精緻化する手がかりを提供できるか？

主な発見

• 任意の滑らかな初期計量に対して、1次元foliation上での部分リッチフローは一意な局所解をもつ。
• 曲率テンソルおよび共法線テンソルは葉に沿って放物型偏微分方程式に従って進化し、正則性および幾何的構造の伝播を保証する。
• ワーパード積の初期計量に対して、フローはグローバルに定数混合断面曲率を持つ極限計量に収束する。
• 定数混合曲率の場合、系に単一のグローバルアトラクターが存在する限り、極限計量は一意的であり初期データに依存しない。
• 境界条件が定常でない場合、解は発散する可能性があり、定常解が存在しない場合の不安定性を示している。
• フローは完全測地的foliationを保存するため、所望の曲率性質を持つようなfoliationの存在を研究するのに適した道具である。