[論文レビュー] The Partition Spanning Forest Problem

Philipp Kindermann, Boris Klemz+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、各木が点の色クラスをちょうど1つ含む交差のないスパニングフォレストを描画することを目的とするPartition Spanning Forest Problemの計算複雑性を調査する。各色クラスに5点以下の場合、問題はNP完全であることが証明されるが、各クラスに3点以下の場合にはO(n²)時間で解ける。さらに、各クラスに4点以下の線形フォレスト（各成分がパスであるフォレスト）バージョンに対してもNP完全であることが示される。

ABSTRACT

Given a set of colored points in the plane, we ask if there exists a crossing-free straight-line drawing of a spanning forest, such that every tree in the forest contains exactly the points of one color class. We show that the problem is NP-complete, even if every color class contains at most five points, but it is solvable in $O(n^2)$ time when each color class contains at most three points. If we require that the spanning forest is a linear forest, then the problem becomes NP-complete even if every color class contains at most four points.

研究の動機と目的

• 色クラスサイズが有界な条件下でのPartition Spanning Forest Problemの計算複雑性を特定すること。
• 各色クラスに3点または4点以内である場合、問題が依然として扱いやすいかどうかを調査すること。
• スパニングフォレストが線形フォレスト（つまり各成分がパス）でなければならないという変種の複雑性を分析すること。
• 特定のパrameter化されたケースに対してNP完全性を示すことにより、タイトな複雑性境界を確立すること。
• 各色クラスに3点以内である場合の多項式時間アルゴリズムを、2-SAT定式化を用いて提供すること。

提案手法

• 各色クラスに3点以下である場合、連結性と非交差制約を符号化する2-SATインスタンスに問題を定式化する。
• 幾何的制約と凸包の交差を用いて、変数とワイヤーガジェットにおける変数の真偽値割り当てを強制する。
• Planar 3-SATへの還元のための特殊なガジェット（変数、ワイヤー、分岐、インバーター、ORガジェット）を構築する。
• 論理的満たしを幾何的描画の文脈でシミュレートするための節とORガジェットを設計する。
• 有効な幾何的描画が存在するための必要十分条件が、元のPlanar 3-SAT式が満たせることであることを示すことにより、還元の正しさを証明する。
• 平面埋め込みと幾何的実現可能性を用いて、すべての制約（非交差、連結性）が構成において保持されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各色クラスに3点以内である場合、Partition Spanning Forest Problemは多項式時間で解けるか？
• RQ2 各色クラスに4点または5点以内である場合、問題の複雑性は何か？
• RQ3 各色クラスに4点以内である場合でも、線形フォレスト変種はNP完全か？
• RQ4 非交差および連結性制約を保ったまま、幾何的ガジェットを用いて問題をPlanar 3-SATに還元できるか？
• RQ5 各色クラスに正確に4点である場合、問題の複雑性状態は何か？

主な発見

• 各色クラスに3点以下である場合、2-SAT定式化を用いてO(n²)時間でPartition Spanning Forest Problemが解ける。
• 各色クラスに5点以下である場合、一般の点配置のもとでも問題はNP完全である。
• 各成分がパスである線形フォレスト変種は、各色クラスに4点以下であってもNP完全である。
• 各色クラスに正確に4点である非線形ケースの複雑性は未解決のままである。
• カスタム幾何的ガジェットを用いたPlanar 3-SATから幾何的問題への多項式時間還元により、NP完全性が確立される。
• 構成により、有効な交差のない描画が存在するための必要十分条件が、元のPlanar 3-SAT式が満たせることであることが保証される。