[論文レビュー] The path group method for constructing Lie group extensions

Cornelia Vizman|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2007

Advanced Topics in Algebra被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、無限次元リー群のアーベル拡大を明示的に構成するための新しいパス群手法を導入し、ミケルソンのループ群アプローチとロセフ＝ムーア＝ネクラソフ＝シャタシュビリのカレント群フレームワークを一般化する。この手法は体積保存微分同相群に適用され、パス群の上昇を用いてそのような拡大を体系的に構成することに成功した。

ABSTRACT

Abstract. We present an explicit realization of abelian extensions of infinite dimensional Lie groups using abelian extensions of path groups, by generalizing Mickelsson’s approach to loop groups and the approach of Losev-Moore-Nekrasov-Shatashvili to current groups. We apply it to the group of volume preserving diffeomorphisms. 1.

研究の動機と目的

• 無限次元リー群のアーベル拡大を構成するための統一的枠組みを開発すること。
• ループ群のためのミケルソンの手法およびカレント群のためのロセフ＝ムーア＝ネクラソフ＝シャタシュビリのアプローチを一般化すること。
• これらの技術を、数学的物理における重要な例である体積保存微分同相群に拡張すること。
• パス群の構成を用いて、アーベル拡大の明示的かつ幾何的実現を提供すること。

提案手法

• この手法は、元のリー群をその関連するパス群に上昇させることでアーベル拡大を構成する。
• パス群の中心拡大を用いて、元の群の拡大を誘導する。これは、既知のループ群およびカレント群の結果を一般化する。
• コホモロジー的構成に必要なトランスグレッションに類似した手続きを用い、パス群上のコサイクルを元の群上のコサイクルへ写像する。
• 微分幾何的およびコホモロジー的技法を用いて、拡大が適切に定義され、アーベル的であることを保証する。
• この枠組みは、体積保存微分同相群に適用することで検証され、既知の物理的モデルと整合的であることが示された。
• 一貫したパス群形式主義の下で、ループ群およびカレント群の拡大の取り扱いを統一することで、既存の結果を一般化した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知のループ群およびカレント群のケースを超えて、無限次元リー群のアーベル拡大を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 パス群形式主義は、無限次元における群の拡大の既存のアプローチを統一的かつ一般化できるか？
• RQ3 パス群は、体積保存微分同相群の中心拡大を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 パス群のコホモロジー構造と元のリー群のそれらの関係は何か？
• RQ5 この手法は、体積保存微分同相群の群を超えて、他の無限次元リー群へどの程度拡張可能か？

主な発見

• パス群手法は、ミケルソンおよびロセフ＝ムーア＝ネクラソフ＝シャタシュビリのアプローチを統一的枠組みへ一般化し、成功した。
• この構成により、パス群の上昇を用いて体積保存微分同相群の明示的中心拡大が得られた。
• パス群のコサイクルから元の群上のコサイクルへの一貫したトランスグレッション写像が確立された。
• 得られた拡大はアーベル的であり、幾何的に実現可能で、元のリー群の構造を保ったままである。
• 直接的なコホモロジー計算が困難な場合においても、この枠組みは拡大を体系的に構成する方法を提供する。
• このアプローチにより、ループ群およびカレント群に関する既存の結果をより広いクラスの無限次元リー群へ拡張可能であることが確認された。