[論文レビュー] The Penrose inequality on perturbations of the Schwarzschild exterior

Spyros Alexakis|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、スワーツシルト外部に近い真空時空に対して摂動的Penrose不等式を確立し、過去向き光超曲面 $̟_0$ 上の境界外方閉じた球面（MOTS）の面積がADMエネルギーの下界を定める、という主張を証明する。光超曲面の変形により漸近的円形性とホーキング質量の単調性を確保し、陰関数定理を用いて未来の光超曲面での計量を均一化する共形因子を構成することで、微小摂動において不等式が成り立つことを示した。

ABSTRACT

We prove a version the Penrose inequality for black hole space-times which are perturbations of the Schwarzschild exterior in a slab around a null hypersurface $\underline{\mathcal{N}}_0$. $\underline{\mathcal{N}}_0$ terminates at past null infinity $\mathcal{I}^-$ and $\mathcal{S}_0:=\partial\underline{\mathcal{N}}_0$ is chosen to be a marginally outer trapped sphere. We show that the area of $\mathcal{S}_0$ yields a lower bound for the Bondi energy of sections of past null infinity, thus also for the total ADM energy. Our argument is perturbative, and rests on suitably deforming the initial null hypersurface $\underline{\mathcal{N}}_0$ to one for which the natural "luminosity" foliation originally introduced by Hawking yields a monotonically increasing Hawking mass, and for which the leaves of this foliation become asymptotically round. It is to ensure the latter (essential) property that we perform the deformation of the initial nullhypersurface $\underline{\mathcal{N}}_0$.

研究の動機と目的

• スワーツシルト外部の微小摂動である時空に対してPenrose不等式の版本を確立すること。
• 過去向き光超曲面 $̟_0$ 上の境界外方閉じた球面（MOTS）の面積が、ADMエネルギーの下界を提供することを示すこと。
• 過去光超曲面での漸近的円形性を保証すること。これは、ガウス曲率を制御し、陰関数定理を適用するために不可欠である。
• スワーツシルト質量1の解が、スワーツシルト外部の正則的で微小な摂動の空間においてADM質量の局所的最小値をとることを証明すること。

提案手法

• 初期光超曲面 $̟_0$ を、自然な光度foliationが単調に増加するホーキング質量を与える新しい光超曲面 $̟_\omega$ に変形する。
• 陰関数定理を用いて、無限遠における計量を均一化する共形因子 $e^{2\Sigma(\omega)}$ を解く。これにより、漸近的球面のガウス曲率が定数になるように保証する。
• 光超曲面の変化に沿ったリッチ係数およびジャコビ場の摂動的解析を用い、無限遠におけるWeyl曲率およびガウス曲率の一次変化を制御する。
• 変形された光超曲面上に一定光度foliationを構成し、$W^{4,p}$ および $W^{2,p}$ の重み付きソボレフノルムを用いてその漸近的挙動を分析する。
• 線形化作用素 $\mathcal{L}_\omega$ が球面上のラプラシアン $\Delta_{\mathbb{S}^2}$ の微小摂動であることに着目し、陰関数定理の適用における逆可換性および横断性を保証する。
• 背景計量 $\gamma^\infty$ に共形的な定曲率計量をパラメトライズするための共形群 $SO(3,1)$ を用い、解空間がこの群と横断的に交わることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イベントホライズンの全存在を仮定せず、スワーツシルト外部の微小摂動である時空に対しPenrose不等式を証明できるか？
• RQ2 過去向き光超曲面 $̟_0$ 上のMOTSの面積が、このような摂動時空においてADMエネルギーの下界を提供するか？
• RQ3 光超曲面の漸近的幾何を変形することで、その光度foliationが単調に増加するホーキング質量と、過去光超曲面での漸近的円形球面を達成できるか？
• RQ4 初期光超曲面の微小摂動に対して、陰関数定理を用いて未来の光超曲面で計量を均一化する共形因子を構成できるか？
• RQ5 ガウス曲率の無限遠における一次変化は、光超曲面の変化および関連するジャコビ場とどのように関係するか？

主な発見

• 初期光超曲面 $̟_0$ 上のMOTS $\mathcal{S}_0$ の面積は、時空のADMエネルギーの下界を提供する。等号はスワーツシルト解の場合にのみ成立する。
• 変形された光超曲面 $̟_\omega$ における光度foliationに沿ってホーキング質量は単調に増加し、摂動的領域におけるPenrose不等式の有効性が保証される。
• 適切な共形変形を施した後、過去光超曲面でのガウス曲率は定数に均一化され、これは陰関数定理を共形因子 $\Sigma(\omega)$ に適用することで達成された。
• 共形因子 $e^{2\Sigma(\omega)}$ の解空間は、4パラメータの共形変換 $U_{\lambda,q}$ の族と横断的に交わる。これにより、定曲率を持つ解の存在が保証される。
• 初期光超曲面の変形により、光度foliationの各葉が漸近的に円形に近づく。これは、質量および曲率の漸近的挙動を制御するために不可欠である。
• 微小摂動が $W^{4,p}$ および $W^{2,p}$ ノルムで小さく、作用素 $\mathcal{L}_\omega$ が $\mathbb{S}^2$ 上のラプラシアンの微小摂動であるため、陰関数定理が適用可能である。