[論文レビュー] The performance of the quantum adiabatic algorithm on random instances of two optimization problems on regular hypergraphs

Edward Farhi, David Gosset+5 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Aug 18, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、3-正則3-XORSATおよび3-正則Max-Cutという2つの最適化問題のランダムなインスタンスに対して、量子断熱アルゴリズム（QAA）の性能を調査する。ストキュアスティックハミルトニアンを用い、量子モンテカルロ法とキャビティ法を適用することで、両問題においてQAAが有効に機能しないことが判明した。3-XORSATでは、s=1/2における指数的になまりの小さいギャップが、一次元量子相転移に起因する。Max-Cutでは、s≈0.36における2次相転移臨界点を超えると、指数的になまりの小さいギャップが生じ、これは摂動的クロスイングに起因する可能性が高い。

ABSTRACT

In this paper we study the performance of the quantum adiabatic algorithm on random instances of two combinatorial optimization problems, 3-regular 3-XORSAT and 3-regular Max-Cut. The cost functions associated with these two clause-based optimization problems are similar as they are both defined on 3-regular hypergraphs. For 3-regular 3-XORSAT the clauses contain three variables and for 3-regular Max-Cut the clauses contain two variables. The quantum adiabatic algorithms we study for these two problems use interpolating Hamiltonians which are stoquastic and therefore amenable to sign-problem free quantum Monte Carlo and quantum cavity methods. Using these techniques we find that the quantum adiabatic algorithm fails to solve either of these problems efficiently, although for different reasons.

研究の動機と目的

• 3-正則3-XORSATおよび3-正則Max-Cutという2つのNP困難な最適化問題のランダムなインスタンスにおける、量子断熱アルゴリズム（QAA）の効率を評価すること。
• QAAの実行時間複雑度を決定する、補間ハミルトニアンにおける最小スペクトルギャップのスケーリングを分析すること。
• 回避レベルクロスイングや相転移が存在する状況下で、QAAがこれらの問題を多項式時間で解けるかどうかを特定すること。
• 符号問題のない、より取り扱いやすいストキュアスティックハミルトニアンに対して、量子モンテカルロ法と量子キャビティ法の数値結果を比較すること。

提案手法

• 研究では、線形補間ハミルトニアン H(s) = (1−s)HB + sHP を用いる。ここで、HB は横磁場ハミルトニアン、HP は各最適化問題の問題ハミルトニアンである。
• 問題ハミルトニアンは3-正則ハイパーグラフ上に定義される：3-XORSATの節は3つの変数を含み、Max-Cutの節は2つの変数を含む。
• 補間ハミルトニアンはストキュアスティックであるため、量子モンテカルロ（QMC）法と量子キャビティ法による数値解析が可能である。
• 量子モンテカルロシミュレーションは、二重にデジェネレートした基底状態と固定された基底状態エネルギーを持つインスタンスで実施され、キャビティ法は典型的なランダムインスタンスを分析する。
• Max-Cutの相転移の臨界点は、有限サイズスケーリングおよびギャップ解析により、sc ≈ 0.36 で特定された。
• Max-Cutのケースにおいて、sc を超える領域での小さなギャップの原因として、摂動的クロスイング効果を検討した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子断熱アルゴリズムは、3-正則3-XORSATのランダムインスタンスを多項式時間で解けるか？ もし解けない場合、その原因は何か？
• RQ2 3-正則Max-Cutの補間ハミルトニアンにおける量子相転移の性質は何か？ そして、最小ギャップにどのように影響するか？
• RQ3 2次相転移が存在するにもかかわらず、なぜQAAは3-正則Max-Cutで失敗するのか？ また、観察された小さなギャップの背後にあるメカニズムは何か？
• RQ4 量子モンテカルロ法とキャビティ法は、これらの問題におけるストキュアスティックハミルトニアンの最小ギャップスケーリングを信頼性高く予測できるか？
• RQ5 Max-Cutで観察された小さなギャップは、最近の理論的モデルが予測するように、摂動的クロスイングに起因しているとされるが、その通りか？

主な発見

• 3-正則3-XORSATでは、s=1/2における指数的になまりの小さい最小ギャップが、一次元量子相転移に起因するため、QAAは失敗する。
• 3-正則Max-Cutの相転移の臨界点は、双対性変換と有限サイズスケーリングにより、正確に s_c = 0.36 に特定された。
• Max-Cutでは、s_c の近傍では最小ギャップが多項式的に減少するが、s > s_c では指数的になまりの小さいギャップが生じ、実行時間スケーリングが指数的またはストレッチド指数的である可能性がある。
• 3-XORSATにおけるレプリカ対称キャビティ法はQMC結果とよく一致しており、このモデルの熱力学的性質についてRSアンザッツの正確性を支持する。
• 量子モンテカルロ結果は、Max-Cutの最小ギャップが系サイズに対して指数的にスケーリングすることを示唆しているが、ストレッチド指数的フィットも妥当である可能性がある。
• Max-Cutにおけるsc を超える領域での小さなギャップは、最近の理論的研究が予測するように、摂動的クロスイングに起因する可能性が非常に高い。